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Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta natural RL

Resposta natural de um circuito RL. Escrito por Willy McAllister.

Vamos estudar a resposta natural de um circuito resistor - indutor. Esta discussão é paralela à análise de circuitos RC.

Este circuito

RL

é bastante comum. Ele aparece toda vez que um fio enrolado está envolvido em um circuito, como quando você aciona um relé mecânico para causar um movimento físico (um relé contém uma bobina usada como um eletroímã). Indutores são encontrados em quase todas as fontes de alimentação e em muitos filtros. Todos os fios e pistas de placas de circuito têm uma pequena auto-indutância, que pode ser importante em circuitos muito rápidos.

Este é um circuito onde temos levar em conta o tempo. Desenvolver uma compreensão precisa requer conceitos de cálculo. Usamos derivadas para descrever como o circuito

RL

se comporta.

O que estamos construindo

Para um circuito resistor-indutor, se o indutor tem uma corrente inicial

I_{0}

, a corrente diminuirá exponencialmente de acordo com:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Onde

I_{0}

é a corrente no momento

t = 0

. Essa é a chamada resposta natural.

A constante de tempo para um circuito

RL

τ = \frac{L}{R}

A constante de tempo é uma medida da inclinação de uma exponencial. Ela tem segundos como unidade.

A resposta natural de um circuito é o que o circuito faz quando não existem influências externas (nenhuma energia entrando). É o comportamento mais básico do circuito. Quando colocado dentro de um circuito maior, a resposta natural desempenha um papel essencial no comportamento como um todo.

Configurando a resposta natural RL

Para que o circuito

RL

realize algo, chamamos um circuito auxiliar externo para adicionar alguma energia e em seguida se retirar e deixá-lo sozinho, enquanto vemos o que acontece.

No lado direito deste esquema temos o indutor

L

, e o resistor

R

. Este é o circuito que queremos estudar. No lado esquerdo está o nosso "auxiliar externo", consistindo de uma fonte de corrente,

I

, um resistor

R 0

, e um interruptor na posição fechado.

Supondo que o interruptor foi fechado por um longo tempo, a malha azul mostra como a corrente flui no circuito:

Como sabemos que toda a corrente flui apenas através do indutor e que nenhuma corrente flui em nenhum resistor? A equação de indutor nos diz que:

v = L \frac{d i}{d t}

A corrente da fonte é constante, não muda com o tempo.

Isso significa que a mudança na corrente com o tempo é

\frac{d i}{d t} = 0

Se colocamos esse valor na equação do indutor, temos

v = L \cdot 0 = 0

. A tensão através do indutor (e, portanto, ambos os resistores) é

0

. A Lei de Ohm nos diz que resistores com

0

volts têm

0

de corrente.

Quando a corrente através de um indutor é constante, podemos dizer: O indutor "parece" um curto-circuito porque tem

0

volts entre seus terminais, como um fio ideal.

Condições iniciais

Agora, há uma corrente fluindo através do nosso indutor. Abrimos o interruptor no tempo

t = 0

e descobrimos as condições iniciais .

O interruptor aberto desconecta o circuito auxilar

(I, R 0)

da seção

RL

. No lado do axiliar a corrente

I

começa a fluir através de

R 0

, (o circuito auxiliar fez seu trabalho e não vamos mais prestar atenção a esta parte de agora em diante). Do lado de

RL

, a corrente que flui em

L

instantaneamente se volta para começar a fluir através de

R

Depois que o interruptor é aberto,

R 0

dá à fonte de corrente um lugar para fluir sua corrente. Não é educado pedir que uma fonte de corrente trabalhe em um circuito aberto. A fonte de corrente ideal produz uma tensão infinita, pois ela tenta conduzir corrente através do circuito aberto. (Por uma razão similar, você deve evitar curto-circuitar uma fonte de tensão ideal, para evitar corrente infinita.)

Resumo das condições iniciais

No instante antes do interruptor abrir,

t = 0^{-}

, o indutor tem uma corrente que chamaremos

I_{0}

, com

0

volts através do indutor e do resistor.

No instante seguinte, em

t = 0^{+}

, o interruptor está aberto e corrente

I_{0}

ainda flui em

L

, e agora flui em

R

A corrente no indutor não muda, e na verdade, não pode mudar instantaneamente. Então a corrente que flui no indutor logo após o interruptor abrir é igual à corrente logo antes do interruptor abrir.

Corrente em um indutor faz com que a energia deva ser armazenada em um campo magnético circundante. Essa energia não pode desaparecer ou ir para outro lugar instantaneamente. A energia gradualmente retorna ao circuito por sustentar a corrente do indutor até que a energia se esgote.

Este comportamento aparece na equação do indutor:

v = L \frac{d i}{d t}

Se a corrente muda instantaneamente, isso significa que há uma variação finita de

i

em um intervalo de tempo nulo, logo a derivada de corrente,

d i / d t

, se torna infinita, o que implica uma tensão infinita através do indutor. Tensão infinita não existe.

Uma analogia mecânica: A energia do campo magnético armazenada em um indutor é análoga ao momento armazenado em uma massa. Se você tentar parar uma massa em movimento, seu momento não se dissipa instantaneamente. A massa não pára em um instante. Dizemos que: o momento tende a manter a velocidade da massa. Nessa analogia, a tensão corresponde à força empurrando a massa e a corrente corresponde à velocidade da massa.

Em todo o tempo anterior, até

t = 0^{+}

, a corrente no indutor é

I_{0}

Resposta natural RL - descrição intuitiva

Vamos raciocinar sobre o que acontece a seguir. Queremos descobrir

i

v

como funções do tempo.

Dissemos acima que

I_{0}

está fluindo no indutor logo após o interruptor ser aberto. O que acontece com a tensão?

A corrente no resistor saltou de

0

para

I_{0}

, e então a tensão instantaneamente salta para

v (0^{+}) = I_{0} R

Agora sabemos a corrente e a tensão logo após o interruptor ser aberto. Vamos pensar em seguida o que ocorre com onde este circuito, depois de algum tempo.

Um resistor (ao contrário de um indutor ou capacitor ideal), dissipa energia na forma de calor. Esse calor é a energia armazenada no campo magnético do indutor (a única fonte de energia no nosso circuito de resposta natural). Se esperarmos algum tempo, toda a energia que se iniciou no indutor será transformada em calor pelo resistor. Quando toda a energia acaba,

i

será

0

, e

v

será

0

. Este é o estado final do nosso circuito.

i (t)

v (t)

agora vão parecer ser assim depois de algum tempo:

O que acontece no meio-termo?

Agora vamos completar o que acontece no intervalo de tempo entre

t (0^{+})

e "algum tempo mais tarde". Por ora, vou admitir que há uma curva suave ligando os dois segmentos da curva. Eu suponho que a taxa de mudança pode ser maior perto do início, quando a corrente é alta e há uma taxa de dissipação de potência maior no resistor. Usando esta intuição, eu posso esboçar em curvas a corrente e a tensão previstas.

Isto acaba sendo um bom palpite para a resposta natural de um circuito

RL

. Usando apenas nossa intuição, descobrimos os estados inicial e final, e fizemos uma estimativa de como a corrente e a tensão se comportam durante a transição entre o início e fim. Não temos certeza exatamente de quão rapidamente as curvas descem, ou o que é realmente "algum tempo".

Em seguida, desenvolvemos uma solução precisa, o que nos obriga a usar algum cálculo.

Derivação formal da resposta natural $RL$ ‍

Queremos derivar a resposta natural

RL

i

v

em função do tempo. Esta derivação segue as mesmas etapas que a resposta natural RC.

Assumimos uma corrente inicial de

I_{0}

fluindo em

L

Modele os componentes

Os dois componentes são modelados pelas suas equações características

i

v

O resistor é descrito pela Lei de Ohm:

v_{R} = i R

O indutor é descrito pela equação de

i

v

do indutor:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

Modele o circuito

Podemos escrever a Lei de Kirchhoff das Tensões, começando no canto superior esquerdo do esquema e circulando no sentido anti-horário:

v_{L} + v_{R} = 0

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

Esta é a equação diferencial que modela o circuito.

A partir daqui, chamamos

v_{R}

apenas de

v

Resolva o circuito

A equação acima é uma equação diferencial ordinária de primeira-ordem (EDO).

Agora vamos analisar a solução de uma EDO. Uma forma é fazer uma estimativa de solução e verificá-la. Isso é o que vamos fazer aqui, assim como fizemos com a análise da resposta natural de RC.

Esta EDO é uma equação diferencial separável. Um método para resolver equações separáveis está incluído como um apêndice no final deste artigo. Com este método, não há nenhum chute envolvido.

Sal tem uma sequência de vídeos sobre equações diferenciais separáveis, onde ele se aprofunda sobre esse método de solução. Ele também fala sobre chutar uma solução quando se resolve equações diferenciais de segunda-ordem. Equações de segunda-ordem surgirão em circuitos elétricos quando chegarmos em circuitos

RLC

Para resolver a equação diferencial podemos pensar numa expressão para a corrente,

i (t)

e substituir a expressão na equação diferencial, e ver se ela é verdadeira.

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

(equação diferencial)

Assim como fizemos com o circuito

RC

, tentamos uma função exponencial com alguns parâmetros ajustáveis,

K

s

i (t) = K e^{s t}

$t$ ‍ é tempo
$i (t)$ ‍ é corrente em função do tempo
$K$ ‍ e $s$ ‍ são constantes que temos que descobrir
$K$ ‍ é a amplitude que dimensiona a corrente para cima ou para baixo
- $s$ ‍ deve ter como unidade $1 / t$ ‍, e assim temos um expoente adimensional.

Substitua a nossa solução proposta na equação diferencial para ver se funciona:

L \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + R (K e^{s t}) = 0

Vamos calcular a derivada do primeiro termo:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Substitua a derivada de volta na equação diferencial:

s L K e^{s t} + R K e^{s t} = 0

Agora podemos fatorar o termo comum

K e^{s t}

(s L + R) K e^{s t} = 0

Esta equação descreve nosso circuito específico, com a

i (t)

proposta.

Agora trabalhamos com as duas constantes,

K

s

, para ver se podemos tornar a equação verdadeira.

Poderíamos definir

K = 0

para obter uma solução. Mas ela é muito chata. Você não coloca nada, e não tira nada.

Poderíamos fazer

e^{s t} = 0

para obter outra solução. Ela também é chata. Se fazemos

s

um número negativo e deixamos

t

ir para

+ \infty

, isso significa que ficamos por aqui para sempre e esperamos a corrente diminuir até zero. Tire uma soneca.

A terceira forma para tornarmos a equação verdadeira é definir

s L + R = 0

. Isso fica interessante. Isto é verdadeiro se:

s = - \frac{R}{L}

Isso se resolve para

s

e faz nossa função para corrente se parecer com:

i (t) = K e^{- R t / L}

O último passo é descobrir

K

, o fator de amplitude. Fazemos isto usando as condições iniciais. O indutor tem uma corrente conhecida no instante em que o interruptor abre. Para encontrar

K

, substituimos tudo o que sabemos sobre

t = 0^{+}

. A corrente era

i (0^{+}) = I_{0}

i (0) = I_{0} = K e^{- R \cdot 0 / L}

I_{0} = K e^{0}

K = I_{0}

Feito! Encontramos uma função e duas constantes que tornaram a equação diferencial verdadeira. Solucionamos a corrente para todos os tempos depois que o interruptor foi aberto.

A solução geral para a resposta natural de um circuito

RL

é,

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Podemos obter a tensão

v (t)

direto da Lei de Ohm:

v (t) = R \cdot i (t)

v (t) = R I_{0} e^{- R t / L}

A resposta natural $RL$ ‍ se parece com isso

Estes gráficos mostram a forma da resposta natural

RL

. Para

t \leq 0

, a corrente é

I_{0}

. Após

t = 0

, a corrente decai segundo uma curva exponencial, até que se torne

0

. A taxa de variação (a inclinação) é maior no início, quando a corrente é mais elevada. A razão

R / L

determina o decaimento da resposta exponencial.

A tensão através do indutor é plana em

0

para

t \leq 0

e dá um salto abrupto em

t = 0

, quando a corrente começa a mudar. O pico de tensão depende da corrente inicial

I_{0}

e da resistência,

R

(e, estranhamente, não depende do valor do indutor

L

). A tensão segue uma curva exponencial semelhante para baixo até que chega a

0

Compare estes gráficos computadorizados com os que esboçamos anteriormente. Os esboços têm a forma correta.

Constante de tempo de uma combinação resistor-indutor

Um expoente tem que ser um número simples, não pode ter dimensões. Isso significa que o quociente

R / L

tem que ter unidades de

1 / tempo

, e então ele pode cancelar

t

. Isso significa que

L / R

tem unidades em

segundos

L / R

é chamada a constante de tempo da combinação resistor-indutor. Tem as mesmas propriedades que o produto correspondente

R \cdot C

no circuito resistor-capacitor. Utilizamos a letra grega

τ

(tau) como o símbolo para a constante de tempo. Para um par resistor-indutor:

τ = \frac{L}{R}

A constante de tempo para um indutor e resistor se torna maior com um indutor maior e menor com uma resistência maior (em contraste com a constante de tempo

RC

, que fica maior com os dois

C

R

maiores

Usando

τ

, podemos escrever a equação da resposta natural como:

i (t) = I_{0} e^{- t / τ}

Quando

t

é igual a constante de tempo, o expoente

e

se torna

- 1

, e o termo exponencial é igual a

1 / e

, ou cerca de

0, 37

. A constante de tempo determina o quão rapidamente a curva exponencial tende a zero. Depois de passada

1

constante de tempo, a corrente decresce a

37 %

de seu valor inicial.

Exemplo de resposta natural $RL$ ‍

Vamos fazer um exemplo juntos. Para este circuito:

Problema 1

Qual o valor de $i$ ‍ se o interruptor está fechado?

i =

mA

Problema 2

Qual o valor de $v$ ‍ se o interruptor está fechado?

v =

V

O interruptor é aberto em

t = 0

Problema 3

Qual a corrente $i$ ‍ no indutor no instante após o interruptor ser aberto?

i =

mA

Problema 4

Qual a constante de tempo $τ$ ‍ ?

τ =

segundos

Escreva expressões para $i (t)$ ‍ e ‍v(t) após $t = 0$ ‍.

i (t) =____,

v (t) =____

A resposta natural para o circuito do exemplo fica assim:

Resumo

A resposta natural de um circuito

RL

é uma exponencial:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Onde

I_{0}

é a corrente no instante

t = 0

A constante de tempo para um circuito

RL

τ = \frac{L}{R}

Apêndice - Resolução de uma equação diferencial separável

Relembrando, a equação diferencial do circuito

LC

é:

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

Aqui estão os passos para resolver esta equação diferencial separável . Se você estudou esta técnica em seus estudos de cálculo, você pode resolver ambas equações diferenciais de primeira-ordem

RL

RC

sem ter que supor uma solução.

$\begin{aligned} L \frac{d i}{d t} & = - i R \\ L \frac{d i}{i} & = - R d t \\ \int_{0}^{t} L \frac{d i}{i} & = - \int_{0}^{t} R d t \\ L [\ln i (t) - \ln i (0)] & = - R t \\ L \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t \\ \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t / L \\ i (t) / I_{0} & = e^{- R t / L} \\ i (t) & = I_{0} e^{- R t / L} \end{aligned}$ ‍

Esse é o mesmo resultado que obtivemos no artigo principal supondo uma solução.

O Sal tem uma sequência de vídeos mostrando como resolver esse tipo de equação diferencial separável.

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