Resposta natural LC

Desenvolvemos um método intuitivo para encontrar a resposta natural de um circuito indutor - capacitor, $\text{LC}$‍.

Depois de obtermos uma boa ideia do que está ocorrendo, o próximo artigo é a derivação formal da resposta natural do circuito $\underset{―}{\text{LC}}$‍.

Os circuitos com dois elementos armazenadores de energia (capacitores e indutores) são chamados de sistemas de segunda ordem. Nos sistemas de segunda ordem, as tensões e as correntes variam para cima e para baixo, ou oscilam. Esse artigo é uma descrição intuitiva de como isso ocorre.

Os sistemas de segunda ordem geram as ondas senoidais nos circuitos eletrônicos.

Até agora vimos sistemas de primeira ordem, $\underset{―}{\text{RC}}$‍ e $\underset{―}{\text{RL}}$‍, que possuem um elemento armazenador de energia, $\text{C}$‍ ou $\text{L}$‍. A resposta natural dos sistemas de primeira ordem possui uma forma exponencial que "cai" rapidamente para o seu valor final. A energia no seu elemento armazenador é dissipada pelo resistor.

Agora vamos ver um circuito com dois elementos armazenadores de energia e sem resistor. Circuitos com dois elementos armazenadores são sistemas de segunda-ordem, porque eles produzem equações com derivadas segundas.

Sistemas de segunda ordem são os primeiros sistemas que variam no tempo para cima e para baixo, ou oscilam. O exemplo clássico na mecânica de um sistema de segunda ordem é um relógio com um pêndulo. Em eletrônica, o sistema clássico é o circuito $\text{LC}$‍.

Queremos achar a resposta natural desse circuito. É o que o circuito faz quando não há nenhuma força motora externa. A resposta natural é sempre uma parte importante da resposta total de um circuito.

Digamos que o capacitor tem uma tensão inicial, o que significa que ele está armazenando alguma carga, $q$‍. Supomos que não há corrente inicial no indutor (e portanto, nenhuma corrente também no capacitor). O que irá ocorrer quando a chave se fechar e deixarmos o circuito fazer "o que bem entender"? Vamos trabalhar nisso investigando o que acontece com a carga, $q$‍.

O valor de $q$‍ é definido pelo produto entre tensão inicial no capacitor e o valor do capacitor, $q=\text{C}v$‍. $q$‍ não muda durante a resposta natural. No início, toda a carga se encontra imóvel no capacitor.

Agora nós liberamos o circuito fechando a chave para que ele realize sua tarefa "natural".

O indutor inicia com corrente $0$‍. De repente ele "vê" a tensão inicial $v={\text{V}}_0$‍. Essa tensão irá gerar uma corrente crescente no indutor, e ela começa a armazenar energia no seu campo magnético circundante.

De onde vem essa corrente (carga fluindo)? Ela vem do capacitor, é claro.

No capacitor, a corrente flui para fora da placa superior, segue através do indutor e vai para a placa inferior do capacitor. Se $q$‍ está decrescendo, então $q=\text{C}v$‍ nos diz que $v$‍ tem que estar decrescendo, também.

Em algum momento, chegamos a um estado em que a carga na placa superior é a mesma da placa inferior. A tensão no capacitor cai então para $0$‍.

Sobre o indutor flui uma corrente, mesmo que a tensão seja $0$‍, porque a energia armazenada no campo magnético do indutor mantém a corrente fluindo (A corrente não cai abruptamente para $0$‍ quando a tensão chega a $0$‍).

A corrente no indutor continua a mover carga da placa superior do capacitor para a inferior. Agora existe mais carga positiva na placa inferior que na superior, então a tensão na realidade muda de sinal e se torna negativa.

Na medida em que a carga se acumula na placa inferior, ela reage contra a chegada de nova carga da corrente do indutor (repulsão eletrostática). A corrente no indutor declina e começa a cair em direção a $0$‍.

Depois de algum tempo, a tensão irá atingir um valor de pico negativo quando toda a carga fluiu para a placa inferior. A tensão será o negativo do valor inicial no capacitor. A carga para de se mover por um momento, e a corrente passa por $0$‍.

A imagem acima é quase idêntica àquela inicial. A corrente voltou a zero, e a tensão está no seu valor de pico. O pico é o negativo do valor inicial. Podemos voltar ao começo dessa história e dizê-la de novo, exceto que com a carga se movendo da placa inferior do capacitor de volta para a superior. Este é o resultado final de um ciclo completo:

A velocidade da oscilação (a frequência) é determinada pelo valor de $\text{L}$‍ e $\text{C}$‍. Vamos descobrir como isso funciona quando fizermos a dedução formal da resposta natural de $\text{LC}$‍ no próximo artigo.

Um pêndulo oscilante é um análogo mecânico de um circuito $\text{LC}$‍.

A tensão $v(t)$‍ é o análogo da posição. Medimos a posição do pêndulo na medida em que ele se move para longe do ponto central. A distância é $0$‍ $(v=0)$‍, quando o pêndulo está na posição vertical, e vai para $v=+{\text{V}}_0$‍ ou $-{\text{V}}_0$‍ nas posições extremas.

A corrente $i(t)$‍ é o análogo da velocidade. O pêndulo se move mais rápido no ponto médio $(i={\text{I}}_{max})$‍. Ele fica parado, $(i=0)$‍, por um instante nos finais de sua oscilação.

A voltagem inicial $+{\text{V}}_0$‍ corresponde a quanto nós puxamos o pêndulo para a direita antes de deixá-lo livre.

Deixar livre o pêndulo corresponde a fechar a chave. O que acontece em seguida é a resposta natural. Se o ponto de rotação não tiver atrito e não existir resistência do ar, o pêndulo irá oscilar para sempre.

O circuito $\text{LC}$‍ (e o pêndulo) trocam tensão e corrente para frente e para trás em um padrão de onda senoidal. Tanto a tensão quanto a corrente são ondas senoidais, e podemos ver uma diferença de $1/4$‍ de ciclo entre elas.

Exploramos uma descrição intuitiva da resposta natural de um circuito $\text{LC}$‍ (um sistema de segunda ordem). Tanto a tensão como a corrente têm um padrão no tempo de uma onda senoidal.