Equações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem 2

RKA3JV - E aí, pessoal, nesta aula, nós vamos aprender a resolver, de fato, uma equação homogênea. Nós já vimos o que é uma equação homogênea. Agora, vamos resolvê-la de fato. Então, eu vou colocar aqui uma equação homogênea. A derivada de segunda ordem, mais 5 vezes a derivada de primeira ordem, mais 6 vezes a função, igual a zero. Isso aqui é uma equação homogênea. Mas, para resolver uma equação homogênea você tem que pensar o seguinte: qual é a função que eu vou colocar aqui? E quando eu resolver derivada de segunda ordem mais 5 vezes a derivado de primeira ordem, mais 6 vezes a função, isso vai dar zero. Então, você tem que pensar o seguinte: pensa em uma função que eu vou substituir aqui e vai dar zero. Por exemplo, se eu substituir x², eu estou pensando na derivada de segunda ordem de x², mais 5 vezes a derivada de primeira ordem de x², mais 6 vezes o x². Será que isso vai dar zero? Então, é isso que você tem que pensar. Você tem que pensar em uma função que vai dar zero quando eu substituir aqui. A única função que eu penso no momento é uma função bem clássica que eu já vi até em alguns vídeos. Que é a função "e" elevado a "rx", um "r" qualquer. No caso, "r" vai ser raiz da equação que eu vou chamar de característica. E eu já vou mostrar para vocês rapidinho. Então, eu vou colocar aqui como solução. Então, a nossa solução vai ser, "y" igual a "e" elevado a "rx". Isso é verdade, porque se você pegar isso daqui e substituir aqui, isso vai dar zero. Você vai ter que é a derivada de segunda ordem disso, mais 5 vezes a derivada de primeira ordem disso, vai acabar dando zero. Isso porque a derivada de primeira ordem vai ser igual a "r" vezes "e" elevado a "rx". E a derivada de segunda ordem vai ser igual a r² vezes "e" elevado a "rx". Então, quando você substituir isso aqui, vai acabar dando zero. Então, vamos ficar com r² vezes "e" elevado a "rx", mais 5 vezes "r" "e" elevado a "rx", mais 6 vezes "e" elevado a "rx", igual a zero. E, fatorando essa equação do lado esquerdo pelo fator comum, que é "e" elevado a "rx", ficamos com "e" elevado a "rx", em evidência, que multiplica r² mais 5r + 6 e isso é igual a zero. E, esta aqui, é o que eu disse para vocês que a gente ia chamar de equação característica. Então, pense comigo. Se duas coisas estão se multiplicando e o resultado está dando zero, então uma das duas está dando zero. Eu não estou interessado muito nesta parte, somente nesta. Então, nós vamos igualar essa equação característica aqui a zero, para achar o nosso "r". Então, ficamos com r² + 5r + 6 = 0. E se você fatorar essa equação, você acaba ficando com r + 2 vezes r + 3 = 0. O que nos dá como raízes r = -2 ou r = -3. Essa equação aqui também pode ser resolvida pela fórmula de resolução da equação de segundo grau. Então, temos duas possibilidades aqui para o "y". E eu vou colocar aqui embaixo. Vou colocar aqui ao lado. Então, y₁ vai ser igual a "e" elevado a -2x. E y₂ vai ser igual a "e" elevado a -3x. Isso porque achamos r = -2 e substituímos aqui e r = -3 e substituímos aqui. O que vocês devem perceber é que existe um conjunto de funções que nós vamos derivar e vai dar isso aqui e, também, isso aqui como soluções. Então, por exemplo, se eu coloco aqui y = 2e elevado a 1rx, também vai chegar em uma constante. Então, vocês devem perceber que qualquer múltiplo desta função vai ter este modelo aqui de solução. Só que com o múltiplo aqui na frente e aqui na frente. Então, eu posso chamar estes múltiplos de C₁ e C₂. Então, colocando C₁ aqui e C₂ aqui. Chegamos a uma solução que chamamos de solução geral. Então, y(x) vai ser igual a C₁e elevado a -2x, mais C₂e elevado a -3x. Então, essa aqui é a nossa solução geral para a equação homogênea. Nos próximos vídeos, eu vou mostrar que podemos calcular as constantes C₁ e C₂ se tivermos condições iniciais. Mas, enfim, pessoal. Até a próxima!