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Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta natural RLC - variações

A resposta natural RLC cai em três categorias: superamortecido, criticamente amortecido e subamortecido. Escrito por Willy McAllister.

Introdução

A resposta natural de um circuito resistor-indutor-capacitor

(RLC)

pode assumir três diferentes formas, dependendo dos valores do componentes utilizados.

Em dois artigos anteriores, abordamos uma descrição intuitiva de como o

RLC

se comporta, e fizemos uma derivação formal em que modelamos o circuito com uma equação diferencial de segunda ordem e resolvemos um circuito exemplo específico. Neste artigo, vamos analisar a equação característica e dar nomes às várias soluções.

O que estamos construindo

A equação característica do

RLC

é:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula de Bhaskara:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Substituindo as variáveis

α

ω_{o}

podemos escrever

s

de forma um pouco mais simples:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

onde,

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

é chamado de fator de amortecimento e

ω_{0}

é a frequência de ressonância.

Existem três formas de soluções distintas para

i (t)

, a depender da relação entre

α

ω_{0}

amortecimento supercrítico, $α > ω_{0}$ ‍, que é a soma de duas exponenciais decrescentes
amortecimento crítico, $α = ω_{0}$ ‍, que dá $t$ ‍ vezes uma exponencial decrescente
amortecimento subcrítico, $α < ω_{0}$ ‍, que é uma senóide de amplitude decrescente

Modelando e resolvendo o circuito - revisão

Em um artigo anterior, criamos e resolvemos uma equação diferencial de segunda ordem modelando o circuito

RLC

. Esta equação se parece com essa:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Nós propusemos uma solução com uma forma exponencial (que funcionou muito bem para nós), e chegamos a equação característica com essa fórmula:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Nós resolvemos em função de

s

, as raízes da equação característica do circuito

RLC

, usando a fórmula de Bhaskara,

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Substituindo as variáveis

α

ω_{o}

escrevemos

s

de forma um pouco mais simples:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

onde

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

é chamado de fator de amortecimento, e

ω_{0}

é chamado de frequência de ressonância.

Nós reescrevemos a solução proposta para a seguinte forma,

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

Vamos agora olhar em detalhes a função de

s

, as raízes da equação característica do circuito

RLC

, e seu impacto na solução de

i

Solução exata

Caso se deseje uma solução exata para valores específicos de

R

L

, e

C

, podemos fazer um cálculo semelhante a aquele feito no circuito exemplo do artigo anterior. Uma outra alternativa é colocar os parâmetros do circuito em um simulador para nos ajudar a encontrar um resultado.

Amortecimento supercrítico, crítico, subcrítico

Podemos ter uma ideia da riqueza da resposta natural do circuito olhando as três possíveis respostas de forma qualitativa.

A solução de

s

depende do sinal resultante da subtração que ocorre dentro da raiz quadrada na equação:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

As raízes podem ser:

relação	sinal de $α^{2} - ω^{2}$ ‍	apelido	$s$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	amortecimento supercrítico	2 raízes reais
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	amortecimento crítico	2 raízes repetidas
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	amortecimento subcrítico	2 raízes complexas

A resposta resultante de

i (t)

relação	sinal de $α^{2} - ω^{2}$ ‍	denominação	$i (t)$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	amortecimento supercrítico	2 exponenciais decrescentes
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	amortecimento crítico	$t \cdot$ ‍ exponencial decrescente
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	amortecimento subcrítico	seno de amplitude decrescente

Caso seu estudo da engenharia te leve a conhecer a Teoria de Controle, esses termos são usados para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos. Por exemplo, o movimento de um braço robótico pode ser descrito por uma equação diferencial de segunda ordem. Se você comandar seu robô para pegar um objeto rapidamente, você pode descrever o movimento da mão do robô usando essas palavras.

Vamos olhar as três possíveis respostas com um pouco mais de detalhe.

$α^{2} - ω^{2} > 0$ ‍ amortecimento supercrítico

Sob esta condição, o termo

ω_{o}^{2}

é pequeno em relação a

α^{2}

, então sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada resultará positiva. Também sabemos que a expressão da raiz quadrada será menor do que

α

. Isso significa que

s

será dois números reais, ambos negativos.

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1} = - {número real}_{1}

s_{2} = - {número real}_{2}

(Convença-se que

s_{1}

s_{2}

serão ambos negativos.)

A corrente será a sobreposição de duas exponenciais reais que decaem até zero.

i = K_{1} e^{- {real}_{1} t} + K_{2} e^{- {real}_{2} t}

Diz-se que o circuito está com amortecimento super crítico pois as duas exponenciais sobrepostas estão levando a corrente para zero. O circuito será supercrítico caso a parte resistiva seja grande comparada com a frequência de ressonância.

Seja

R = 10 Ω, L = 1 H

, e

C = 1 / 9 F

.
Seja as seguintes condições iniciais

v_{c} (0) = 10 V

i_{L} = 0

Encontre $i (t)$ ‍.

Encontre o fator de amortecimento e a frequência de ressonância:

α = \frac{R}{2 L}

então

α = \frac{10}{2 \cdot 1} = 5

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

então

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 9}} = 3

Encontre as raízes (negativas e reais) da equação característica:

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1, 2} = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = - 5 \pm \sqrt{16} = - 1, - 9

Monte uma solução proposta:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

i = K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}

Use as duas condições iniciais (as mesmas do exemplo anterior resolvido):

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10

Escreva expressões para

K_{1}

K_{2}

no tempo

t = 0

. Usando a primeira condição inicial:

i (0) = 0 = K_{1} e^{- 0} + K_{2} e^{0}

0 = K_{1} + K_{2}

Agora vamos tirar a derivada da corrente proposta e usar a segunda condição inicial:

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} [K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}] = - K_{1} e^{- t} - 9 K_{2} e^{- 9 t}

\frac{d i}{d t} (0) = 10 = - K_{1} e^{- 0} - 9 K_{2} e^{0}

10 = - K_{1} - 9 K_{2}

Agora vamos resolver as duas equações de condição inicial juntas. Da primeira condição inicial:

K_{1} = - K_{2}

Substituindo na segunda condição inicial:

10 = - (- K_{2}) - 9 K_{2}

10 = - 8 K_{2}

K_{2} = - 1, 25,

e, dessa forma,

K_{1} = + 1, 25

E a solução para corrente é:

i = 1, 25 e^{- t} - 1, 25 e^{- 9 t}

$α^{2} - ω^{2} = 0$ ‍ amortecimento crítico

O limite entre o amortecimento subcrítico e supercrítico é quando

α = ω_{o}

. O fator de amortecimento e a frequência de ressonância estão em equilíbrio, e os termos dentro da raiz quadrada resultam em

0

. As raízes da equação característica,

s

, são dois números reais idênticos, as raízes repetidas:

s_{1, 2} = - α \pm {\sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}}^{0}

s_{1, 2} = - α

Resolver uma equação diferencial de segunda ordem com raízes repetidas é um pouco complicado. Não vou fazer a derivação aqui, mas vou pedir que você assista a um ótimo vídeo sobre resolução de raízes repetidas. Bem-vindo(a) de volta. Com raízes repetidas, a resposta é um termo exponencial multiplicado por

t

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

Denomina-se a resposta do circuito como criticamente amortecida.

Seja

R = 4 Ω

L = 1 H

, e

C = 1 / 4 F

.
Sejam as seguintes condições iniciais

v_{c} (0) = 10 V

i_{L} = 0

Encontre $i (t)$ ‍.

A equação diferencial modelando o circuito é,

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 4 \frac{d i}{d t} + 4 i = 0

o que leva à equação característica correspondente,

s^{2} + 4 s + 4 = 0

Nós podemos fatorar isso diretamente (sem necessidade de usar a fórmula quadrática),

(s + 2) (s + 2) = 0

dando-nos repetidas raízes reais,

s_{1} = - 2

s_{2} = - 2

Com raízes reais repetidas a solução é,

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

i = \frac{10}{1} t e^{- 2 t}

i = 10 t e^{- 2 t}

A resposta criticamente amortecida se parece muito com uma resposta supercrítica. É difícil perceber a diferença a olho nu. A resposta crítica é um limite de todas as possíveis respostas em decaimento.

$α^{2} - ω^{2} < 0$ ‍ amortecimento subcrítico

Quando o

α

é menor que o

ω_{o}

, a raiz quadrada tem um número negativo dentro, e o

s

sai como dois números complexos conjugados, com partes reais e imaginárias. O circuito exemplo em que trabalhamos no artigo Derivação da resposta natural do RLC é um sistema de amortecimento subcrítico.

A corrente se assemelha a uma onda senoidal que diminui com o passar do tempo. Pense no som que um sino faz quando você o toca. O som do sino é liberado e enfraquece com o passar do tempo. Isso é um sistema mecânico de amortecimento subcrítico de segunda ordem. Para circuitos elétricos de segunda ordem, nós pegamos emprestado o termo que dizemos que o sistema com amortecimento subcrítico "toca" em uma frequência de aproximadamente

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}} .

Se deixarmos a resistência ficar muito pequena até chegar a

0

, então

α = R / 2 L

se torna zero e

s_{1, 2}

se torna

ω_{o}

. O circuito se torna uma configuração

LC

pura. Quando analisamos a resposta natural do circuito LC, obtivemos uma onda senoidal que durava para sempre. (Na vida real, o

R

nunca é

0

, portanto, sempre há uma perda de energia. Um sino não toca para sempre.)

O primeiro exemplo de circuito que trabalhamos mais cedo nesse artigo tinha

R = 2 Ω, L = 1 H,

C = 1 / 5 F .

Nós não iremos repetir a solução, mas aqui estão algumas observações usando a notação

α

ω_{o}

O fator de amortecimento

α

α = \frac{R}{2 L} = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1

A frequência ressonante,

ω_{o}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 5}} = \sqrt{5}

Olhando para os termos dentro da raiz quadrada:

α^{2} - ω^{2} = 1^{2} - \sqrt{5}^{2} = - 4 =

um número negativo, o qual nós vimos que leva à solução de um seno decaindo. Portanto, nós poderíamos descrever o exemplo de circuito como um sistema de amortecimento subcrítico.

Resumo

O circuito

RLC

é o equivalente eletrônico de um pêndulo oscilante com atrito. O circuito pode ser modelado por essa equação diferencial linear de

2

a-ordem:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

A equação característica resultante é:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula quadrática:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Substituindo as variáveis

α

ω_{o}

escrevemos

s

de forma um pouco mais simples:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

onde

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Dependendo do tamanho relativo de

α

ω_{o}

, nós obtemos três formas diferentes da solução:

amortecimento supercrítico, $α > ω_{0}$ ‍, que é a soma de duas exponenciais decrescentes
amortecimento crítico, $α = ω_{0}$ ‍, que é $t$ ‍ vezes uma exponencial decrescente
amortecimento subcrítico, $α < ω_{0}$ ‍, que é uma senoide de amplitude decrescente