Como simplificar expressões racionais: duas variáveis

RKA - Vejamos se podemos simplificar essa expressão. E, como sempre, pause o vídeo e a examine. Agora... Este é interessante porque envolve duas variáveis, mas são as mesmas ideias usadas quando fatoramos apenas uma variável. Por exemplo, no numerador, embora não goste do coeficiente diferente de 1 no termo de 2º grau aqui, podemos ver que todos os termos são divisíveis por 5. Então, vamos fatorar por 5. Podemos reescrever o numerador como: 5 vezes... Fatorando aqui, temos x². Fatorando aqui, +4... Na verdade, +4yx, e você verá daqui a pouco por que estou fazendo isso. Na verdade, eu vou dizer já: é porque assim parece mais fácil de atingir o padrão ao qual estamos acostumados a ver quadráticas. Então, temos x² + 4yx... Veja que 4y é um coeficiente no termo de 1º grau, x, que está bem aqui. Mais 4y². Isso sobre... Agora, como podemos fatorar o denominador? Vamos pensar sobre. Conhecemos dois números, ou melhor, duas expressões que, quando multiplicadas, obtemos -6y² e, quando somadas, obtemos -y? Esse é o porquê de eu escrever tudo com y, assim. Na verdade, deixe-me reescrever isso, é a mesma coisa que -yx, para podermos ver o coeficiente com o -y. E, assim, procuramos duas expressões tais que: ab = -6y². E, somadas, a + b dão -y. Então, como você pode imaginar, ambas serão expressões... a e b serão expressões que envolvem o y. Vamos supor que esse é apenas -1, e esse -6. O que faríamos? Teríamos -3 + 2. Agora veja, se fizermos -3y vezes +2y, multiplicando, temos -6y². E, quando somamos, temos -y. Estas são a e b. Parece meio misterioso... Como o Sal, de repente, obtém aqui +2y e -3y? Deixe-me escrever aqui uma quadrática análoga de apenas uma variável. Se eu escrever x² - x - 6, e pedir para fatorar isso, você diz: "OK, eu tenho -2, e -3 vezes -2 é -6. E, se somar, terei algo negativo. Então, você diria: "Bem, e isso será x - 3 vezes x + 2. E a única diferença entre este e aquele é que, em vez de ter apenas -1, você tem -1y. Em vez de ter apenas 1 - 6, você tem o -6y². Você poderia pensar nisso como, ao invés de -3 e +2, -3y e +2y. Espero que faça sentido e, senão, encorajo você a brincar com isso multiplicando isso daqui, esses elementos, e ficando mais familiarizado. Mas, agora que esses elementos podem ser vistos assim, vamos reescrever isso. Isso vai ser x - 3y vezes x + 2y. E não podemos simplificar nada ainda, mas parece que temos aqui, em rosa, algo que pode ser simplificado. Façamos um exercício semelhante ao que acabamos de fazer. Quais as duas expressões que, multiplicadas, obtenho 4y² e, se somadas, tenho 4y? Parece que 2y funciona. Vamos reescrever o numerador. Vou desenhar uma linha para organizar isso aqui. Isto é igual a 5 vezes x + 2y. Eu poderia dizer que é x + 2y², ou apenas x + 2y vezes x + 2y. De novo, 2y vezes 2y é 4y². 2y + 2y é 4y. Então... Tudo sobre x - 3y vezes x + 2y. E agora há um fator comum, x + 2y, tanto no numerador quanto no denominador. Então, posso eliminar o de cima com o de baixo, obtendo apenas 1 se assumirmos que x + 2y não é igual a 0. Isso é realmente uma restrição importante, porque, ao cancelá-la, nós perdemos essa informação. Se quisermos uma equivalência algébrica, devemos dizer que x + 2y é diferente de 0. Ou, então, dizer que x não pode ser igual a -2y. Eu só subtraí 2y de ambos os lados. Então, com o que nos resta, podemos distribuir 5 se quisermos escrever de forma expandida. Podemos reescrevê-la como 5x + 10y em cima, sobre x - 3y. Mais uma vez, se quisermos equivalência algébrica, temos que dizer que x é diferente de -2y. Isto, agora, é algebricamente equivalente a isto, ao que tivemos no início. E você pode dizer que é um pouco mais simples.