Como simplificar expressões racionais: agrupamento

RKA1MP - Simplifique a expressão racional e indique seu domínio. Mais uma vez, tenho um trinômio sobre um trinômio. Para poder simplificar, a gente precisa fatorar os dois. Isso também vai nos ajudar a descobrir o domínio. Para encontrar o domínio, tem que descobrir todos os "x" que podemos colocar nessa expressão de modo a não obter alguma coisa que esteja definida. Vamos fatorar o numerador e o denominador. Como tem um 2 na frente, começando pelo numerador, é melhor fatorar por agrupamento. Vamos reescrever. Agora só estou trabalhando no numerador. 2x² + 3x + 20. A gente precisa encontrar dois números "a" e "b" que, se multiplicar os dois, "a" vezes "b" precisa ser igual a, vou reescrever na esquerda, "a" vezes "b" precisa ser igual a 2 vezes 20. E tem que ser igual a 40. E "a" mais "b" tem que ser igual a 13. Os números que aparecem imediatamente são 5 e 8. 5 vezes 8 é 40, 5 mais 8 é 13. Dá para decompor esse 13x em 5x mais 8x e pode reescrever como 2x². Vai decompor o 13x em, vou escrever o 8x primeiro, irei escrever 8x mais 5x. A razão pela qual escrevi 8x primeiro é porque 8 tem um fator comum com dois. Então, talvez possa faturar um 2x aqui. Vai simplificar um pouco. 5 tem fatores com 20, então, vamos ver para onde vai. Por último, tem um +20 aqui e agora pode agrupar. É por isso que fazemos fatoração por agrupamento, você agrupa esses dois primeiros membros. Vamos fatorar um 2x, isso se torna 2x vezes, 2x² dividido por 2x será "x", 8x dividido por 2x será +4. Vamos agrupar esses dois membros. E se fatorar um 5, o que obtemos? Obtemos mais 5 vezes "x" mais 4. 5x dividido por 5 é "x". 20 dividido por 5 é 4. Tenho x + 4 nos dois casos. Então, fatoramos isso, tem x + 4 vezes dois termos. Dá para tirar a distribuição disso. Isso tudo vai ser x + 4 vezes, deixa eu fazer da mesma cor, 2x + 5. E fatoramos essa expressão do numerador. Agora, vamos fazer a mesma coisa com a expressão do denominador. Vou fazer isso de, não quero ficar sem cores, o denominador está bem aqui. Vamos fazer o mesmo exercício com esse. Tenho 2x² + 17x + 30. Vamos procurar por um "a" e um "b", quando multiplica obtenho 2 vezes 30 que é 60. E quando somo, obtenho 17. Mais uma vez, 5 e 12 parecem funcionar. Então, vamos separar. Vamos separar em 2x². Vamos separar o 17x em 12x mais 5x. Quando você multiplica 12 vezes 5, obtém 60. Nesse primeiro grupo, dá para fatorar um 2x. Se você fatorar um 2x, obtém 2x vezes "x" mais 3, opa, mais 6. Naquele segundo grupo, podemos fatorar 5, então, obtém +5 vezes (x + 6). Agora, podemos fatorar x + 6 e obtemos x + 6, vezes (2x + 5). Acabamos de fatorar o numerador e o denominador. Vamos reescrever essa expressão racional inteira com o numerador e o denominador fatorados. O numerador vai ser igual a x + 4 vezes 2x + 5. Descobrimos aqui. E o denominador x + 6, vezes 2x + 5. Você deve estar pensando que tem 2x mais 5 no numerador e no denominador, e cancelamos, vamos cancelar. Mas antes de fazer isso, vamos trabalhar na segunda parte dessa questão: "indique o domínio." Quais são os valores válidos de "x" que podemos colocar aqui? A questão mais importante é: quais são os valores de "x" que irão tornar essa expressão racional indefinida? É o valor de "x" que irá fazer o denominador igual a zero. E quando o denominador será igual a zero? Tanto quando "x + 6" for igual a zero ou quando "2x + 5" for igual a zero. Podemos resolver para "x" aqui, subtraia 6 dos dois lados e obtém "x" igual a -6. Se subtrair 5 dos dois lados, vai ter 2x é igual a -5. Divido os dois lados por dois e vai ter "x" igual a -5/2. Podemos dizer que o domínio, deixa eu escrever aqui, o domínio é todo número real diferente de "x" igual a -6 e "x" igual a -5/2. A razão pela qual tem que excluir esses valores é que eles fazem o denominador igual a zero e isso deixa toda a expressão racional indefinida. Nós indicamos o domínio. Agora, vamos só simplificar a expressão racional. Já dissemos que "x" não pode ser igual a -5/2 ou -6, então vamos só dividir o numerador e o denominador por 2x + 5. Ou, apenas olhando para os 2x + 5, sabemos que 2x + 5 não será igual a zero porque "x" não será igual a -5/2 e podemos cancelar os dois. A expressão racional simplificada é apenas (x + 4) sobre (x + 6).