Rolando sem problemas de escorregar

[LEGENDA AUTOMÁTICA] vimos em vídeos anteriores que há dois tipos de energia cinética a energia cinética de translação e a derrotá são mas esses dois tipos de energia cinética não são necessariamente proporcionais um ao outro em outras palavras a energia cinética de transação não está necessariamente relacionada à quantidade de energia cinética de rotação entretanto há muitos tipos de problemas em que esses dois tipos de energia cinética aparecem proporcionais um ao outro é o que vamos ver logo mais imagine por exemplo que ao invés de bater com o taco nesta bola de beisebol nós anulássemos sobre concreto o que vai acontecer então é que ela vai rotacionar e também mover se para frente o que vai acontecer então é algo que chamamos como rolagem sem deslizamento em outras palavras ao invés de bater forte nesta bola de beisebol ou de jogá-la sobre um chão band isso nós vamos ter aqui a situação em que ela vai girando e movendo-se para a frente sem deslizar e quando isso acontece este ponto aqui na parte mais baixa da bola vai ter zero de velocidade em relação ao chão e isso a qualquer momento deste movimento esse ponto aqui embaixo na realidade não está se movendo em relação ao chão isso porque se ele se movimentasse em relação ao chão teríamos uma situação de deslizamento esse ponto aqui que está em contato com o chão não está se movendo em relação a ele a velocidade deste ponto da bola é zero analogamente quando você está dirigindo um automóvel não importa o quão rápido você esteja indo na estrada o ponto mais a baixo do pneu está com velocidade zero em relação ao chão esse ponto tem velocidade de zero por um breve intervalo de tempo e na sequência da votação como se o pneu puxasse ponto para entrar novamente no movimento rotacional e um novo ponto vai ocupar aquela posição e vai ter momentaneamente velocidade nula e assim por diante com os próximos pontos por outro lado este ponto que está aqui mais ao alto está se movimentando incrivelmente rápido no seu pneu isso em relação ao chão é claro mas mesmo assim o ponto mais baixo do pneu não está se movendo em relação ao chão desde que tudo esteja funcionando como devido desde que você não esteja praticando uma direção perigosa e não esteja acontecendo o deslizamento dos pneus em situações como essa em que temos a rotação sem deslizamento temos estes dois tipos de energia cinética sendo proporcionais e mais ainda a velocidade aqui do centro de massa ea velocidade angular também são proporcionais é isso que eu pretendo mostrar a você agora como podemos demonstrar que a velocidade do centro de massa é proporcional à velocidade angular nesta situação vamos supor que eu vou pintar este arco em torno da bola de beisebol e que ela vai girar sem deslizar marcando o chão neste trecho e isso significa que ao votasse o nar exatamente o tamanho deste arco a bola de beisebol também se movimentou para frente uma distância exatamente equivalente ao cumprimento desse arco em outras palavras ao girar a bola sem deslizar ela vai marcar aqui no chão exatamente este trecho que tem o comprimento do arco que nós tentamos e porque isso é importante porque é importante observar que o deslocamento da bola tem comprimento igual ao cumprimento do arco isso é importante porque isso significa que o centro de massa desta bola deslocou se para a frente exatamente a mesma distância correspondente ao complemento do arco que nós pintamos ou indicar aqui por de cmd centro de massa essa distância que a bola percorreu e qual é o comprimento do arco vamos precisar relembrar uma fórmula para isso vamos considerar o ângulo determinado pelas extremidades do arquivo vértice evidentemente no centro de massa da bola o comprimento do arco vai ser exatamente o raio da bola às vezes o delta teta que a variação do ângulo ou seja o deslocamento angular neste movimento neste trecho do movimento observa entretanto que isso não é válido para qualquer ponto da bola este ponto aqui no topo da bola descreve uma trajetória que é uma curva um pouquinho mais complicada do que a trajetória de escrita pelo centro de massa essa distância nessa trajetória de escrita por este ponto não é necessariamente igual ao cumprimento do arco mas evidentemente o centro de massa não está rotacionando em torno da bola o centro de massa tem uma trajetória retilínea e justamente por isso podemos garantir que a distância viajada pelo centro de massa exatamente do mesmo comprimento que o arco que nós pintamos ali e agora vem o fato importante em relação a isso nós podemos dividir os dois lados desta igualdade pelo delta te pelo tempo que tomou este trecho do trajeto do lado esquerdo distância / tempo vai ser a velocidade do centro de massa do lado direito da igualdade temos r vezes delta tetra por delta t que é o ômega a velocidade angular ou seja vamos ter que a velocidade linear do centro de massa é igual ao raio da bola vezes a velocidade angular da bola chegamos ao primeiro ponto muito importante aqui em que a velocidade do centro de massa então é igual ao raio da bola se eles a velocidade angular da bola claro que estamos considerando em relação ao centro de massa da bola então de fato a velocidade do centro de massa é proporcional à velocidade angular e você pode dizer esperem um pouco me parece que isto não é novidade nenhuma nós já sabíamos que vê igual r vezes ômega mas cuidado estamos em uma situação um pouco diferente estamos falando de se ver como a velocidade do centro de massa na transação da bola e quando tratavam os movimentos circulares e vê igual r desobriga o vindicatto a velocidade de 1 ponto girando sempre uma distância r do centro com uma velocidade angular ômega ou seja a velocidade de um ponto como este que eu estou destacando aqui em que quando a bola se rotaciona tem uma velocidade relativa ao centro de massa da bola enquanto aqui é esta que estamos deslocando como vc ea velocidade do centro de massa na translação da bola essa velocidade do centro de massa está indicando o quão rápido o centro de massa está se movimentando na transação da bola e não qual é a velocidade de um ponto no exterior da bola girando em torno do centro de massa vamos tentar deixar isso bem claro em alguns exemplos vamos o primeiro temos aqui um cilindro sólido de massa 5 quilogramas cujo raio da base mede dois metros amarrado por uma corda enrolada nele e você libera exibindo para que ele desça desenrolando acorda sem derrapar por uma altura de quatro metros e você quer saber qual é a velocidade do centro de massa quando o cilindro chegar no solo observe que nós chamamos isso de olho mas efetivamente não é um e-mail a situação do iuan é um pouco diferente ele tem uma qualidade aqui no centro e pode ser que não olhou a corda deslize sobre o eixo que existe um centro de cilindro e isso é relevante porque nós estamos tratando de um caso de votação sem deslizamento nesta situação basta imaginar que a corda é como se fosse um chão e um cilindro girando como a bola um pneu girando sobre o são 100 deslizamento ou seja neste caso o cilindro não está deslizando em relação à corda foi o uac está se desenrolando mas a corda não desliza sobre a superfície do objeto estamos exatamente na mesma situação anterior em que podemos usar o fato de que a velocidade de translação do centro de massa é igual a r que o raio do cilindro vezes ômega que a sua velocidade angular nós sabemos que ao desenrolar sem deslizar o cilindro faz e deslocar uma diz a ânsia que é exatamente igual ao cumprimento do arco descrito pela parte externa do cilindro girar parece que aqui não vamos conseguir resolver porque eu não sei a velocidade do centro de massa nem a velocidade angular precisamos de alguma outra ideia para nos auxiliar e é justamente a idéia de conservação de energia vamos lembrar que a energia inicial é igual a energia final a situação começa a uma altura de quatro metros ou seja há uma energia potencial gravitacional armazenada no cilindro e é dada por mgh e já que o cilindro inicialmente estava em repouso essa energia potencial gravitacional vai se transformando em energia cinética e será totalmente transformada em energia cinética quando cilindro chegar ao chão já que na nossa referência o chão é a altura 0 então ali ele não vai mais ter energia potencial gravitacional ela terá sido toda transformada em energia de movimento ou seja energia cinética ao chegar ao solo o cilindro vai ter energia cinética de translação porque evidentemente ele estava se deslocando ao descer esses quatro metros mas além disso teremos também a energia cinética de votação porque o cilindro está girando e ele gira em torno do centro de massa enquanto ele se desloca para baixo então já tínhamos meio de mv quadrado energia cinética de translação vamos a ela adicionar meio de yoga quadrado que a energia cinética de votação olhando agora não parece tão simples de resolver porque não sabemos nem o vê nem o ômega esta é a razão pela qual gastamos 1 56 minutos agora há pouco a fórmula que desenvolvemos é justamente a ligação entre o v e o ômega e ela vai ser muito útil quando colocarmos aqui na conservação de energia assim vamos ter apenas uma incógnita já que o enunciado do problema pergunta sobre se vê que a velocidade do centro de massa vamos justamente fazer a substituição em ômega isolando ômega na nossa fórmula vamos ter o ômega igual a velocidade do centro de massa dividida pelo raio basta colocar esta expressão no lugar de ômega na equação da conservação de energia copiando aqui a colocar um lugar do ômega vcm sobre r não podemos nos esquecer de que isto está elevada ao quadrado eliminando os parentes vamos ter o ver ao quadrado sobre é o quadrado aqui parece muito mais fácil agora porque há somente uma incógnita aqui que a velocidade do centro de massa a claro falta observar que em que é o momento de inércia do cilindro é sempre calculado por um meio vezes a massa do cilindro vezes o raio da sua base elevada ao quadrado então vamos colocar isso aqui no lugar do i também vou escrever aqui no lugar do im um meio vezes mr quadrado observe que aquele um meio que já estava continua e esse outro um meio existe devido ao cálculo do momento de inércia do cilindro mas esse é o quadrado é exatamente o mesmo daquele outro é o quadrado então poderemos cancelar aqui o fato de cancelarmos o raio do cilindro significa que não importa qual é o raio dele nós chegaremos ao mesmo resultado observe também que massa também será cancelada então independente da massa do cilindro também vamos chegar ao chão com a mesma velocidade do centro de massa em uma situação como esta não importa o quão grande ele olhou nem qual é a sua massa desde que tenha sempre a mesma forma do cilindro nestas circunstâncias eles atingem o solo com a mesma velocidade para o centro de massa lembrando claro que estamos desprezando a resistência do ar voltando à nossa equação vamos ter simplesmente gh igual a meio vesgo cidade do centro de massa ao quadrado mais um quarto vezes a velocidade do centro de massa ao quadrado que nos deixa com três quartos dever ao quadrado multiplicando os dois lados por quatro terços para cancelar a ação extraindo a raiz quadrada para isolar o ps m vamos ter que a velocidade do centro de massa é igual a raiz quadrada de 4 ghz sobre três e agora posso colocar números aqui vamos ficar com a raiz quadrada de quatro vezes 9,8 metros por segundo quadrado do gênesis quatro metros do h / 3 ea velocidade do centro de massa vai ser 17 lá três metros por segundo é importante frisar que outros problemas podem parecer muito diferentes de si mas podem ser resolvidos de maneira muito semelhante vamos verificar usando esta mesma ideia em um outro problema temos aqui o mesmo cilindro abandonado do repouso no alto desta rampa e ele vai rolar sem deslizar até chegar ao ponto mais baixo da rampa a pergunta novamente a mesma qual é a velocidade do centro de massa quando cilindro chegar ao chão parece muito diferente do outro problema mas a sua resolução é bastante semelhantes conceitualmente e matematicamente é o mesmo cálculo o cilindro tem ao alto da rampa energia potencial gravitacional que o mgh essa energia potencial gravitacional vai se transformando em energia cinética e quando o cilindro chegar a parte mais baixa da rampa toda a energia potencial gravitacional vai ter sido transformada em energia cinética ea energia cinética de translação mais energia cinética de rotação vão compor a energia cinética total do cilindro que é o colar da mesma forma que no exemplo anterior montada a equação já que existe rotação sem deslizamento podemos trocar ômega por vir sobre r as massas vão se cancelar o é quadrado vai cancelar temos exatamente o mesmo cálculo e verificamos que o centro de massa vai chegar com velocidade de 7,23 metros por segundo ao ponto mais baixo da rampa então recapitulando a velocidade do centro de massa de um objeto não é necessariamente proporcional à velocidade angular desse objeto entretanto se o objeto está rolando sem deslizar essa proporcionalidade existe e nos permite simplificar equações em que teríamos dois itens desconhecidos para apenas um item desconhecido e assim podemos resolver para descobrir a velocidade do centro de massa do objeto até o próximo vídeo