Questão 4: pergunta discursiva do exame de Física Avançada 1 de 2015

RKA2G - Duas esferas idênticas são liberadas a partir de um dispositivo de altura "H" em um tempo t = 0, como mostra a figura acima. A esfera "A" é abandonada a partir do repouso e cai verticalmente para baixo. A esfera "B" é lançada horizontalmente com uma velocidade inicial de módulo igual a v₀ e, com isso, ela atinge uma distância D imediatamente antes de atingir o solo. As esferas atingem o solo ao mesmo tempo "tf", mesmo que a esfera B tenha percorrido uma distância maior antes de parar. A resistência do ar é desprezível. O que a gente tem aqui é a a esfera A caindo de uma certa altura e sofrendo uma aceleração e, aqui, a gente tem uma esfera B, também partindo da mesma altura, só que ela vai ser lançada horizontalmente com uma velocidade v₀ e ela também vai sofrer uma aceleração para baixo neste caso. Então, vamos ver a letra (a). O que está pedindo na letra (a)? Os pontos abaixo representam as esferas A e B. Desenhe um diagrama de forças mostrando e rotulando as forças (não as componentes) exercidas sobre cada esfera em um tempo tf/2. Quando estas esferas saem daqui, o tempo é igual a zero. E, quando estas esferas atingem o solo, a gente tem um tempo tf. Então, se a gente quer saber as forças que estão atuando sobre as duas esferas em um tempo tf/2, a gente quer saber as forças que estão atuando sobre estas esferas antes de atingirem o solo. Vamos vir para estas duas esferas, estes dois pontos que representam as duas esferas. Como estas esferas estão em um campo gravitacional e já saíram do ponto de lançamento, a única força que está atuando sobre cada uma delas é a força da gravidade. E, como essas duas esferas são idênticas e estão em um mesmo campo gravitacional, a força da gravidade possui a mesma intensidade para as duas esferas. Aqui, atuando sobre a esfera A, a gente tem uma força, a força da gravidade, vertical para baixo. E, sobre a esfera B, também, uma força vertical para baixo. A gente tem aqui a força da gravidade, também conhecida como força peso. Aqui nós temos uma força da gravidade ou, simplesmente, fg, e, aqui, também temos uma força da gravidade fg. Uma outra forma que a gente poderia colocar desta força da gravidade é dizer que elas, ou cada uma delas, é igual à massa (neste caso, a massa da esfera A), vezes a aceleração da gravidade. E a mesma coisa aqui: a massa da esfera B, vezes a aceleração da gravidade. Mas, como as duas massas são iguais, a gente pode simplesmente colocar mg aqui e mg aqui. Já identificamos essas forças, representamos os vetores dessas forças e indicamos aqui, colocamos o rótulo de cada uma dessas forças. Vamos agora ver a letra (b). A (b) pede para a gente esboçar e rotular um gráfico da componente horizontal da velocidade, tanto da esfera A quanto da esfera B, como uma função em relação ao tempo. Faça isso utilizando os eixos abaixo. Aqui, a gente tem a componente horizontal da velocidade e, aqui, o tempo. A primeira coisa que a gente vai fazer aqui é analisar a componente horizontal para a velocidade da esfera A. Isso é muito fácil porque, se a gente voltar aqui em cima, percebemos que esta esfera A não está se movimentando horizontalmente. Ela apenas se movimenta verticalmente, sofrendo uma aceleração para baixo. A velocidade horizontal desta esfera é zero em todo o momento. A gente vem aqui e pode simplesmente colocar esta velocidade em relação ao tempo sendo zero. Temos a velocidade da esfera A sendo zero a todo momento. Temos a componente horizontal da velocidade para a esfera A sendo zero a todo momento. Em todo o instante de tempo que a gente observar aqui, a componente horizontal da velocidade para a esfera A será igual a zero. Agora, vamos observar a componente horizontal da velocidade para a esfera B. A esfera B, por outro lado, é lançada horizontalmente para a direita. Apesar dela sofrer uma aceleração para baixo, ela vai ser lançada horizontalmente para a direita. No entanto, como a única força (e a gente viu isso anteriormente) que está atuando sobre esta esfera é a força da gravidade, na direção horizontal, esta esfera não vai sofrer nem uma aceleração e nem uma desaceleração, já que a gente está desconsiderando a resistência do ar. Então, a gente pode montar este gráfico da seguinte forma: a gente vem aqui, em algum ponto, coloca a velocidade da esfera B, que vai ser v₀. E essa velocidade não vai mudar, porque a esfera B não vai sofrer uma aceleração e nem uma desaceleração, então, esta componente horizontal é v₀ a todo momento, até atingir o solo. A gente pode botar aqui que é constante, é uma reta constante aqui. Uma reta constante até este ponto. Que ponto é este? É quando "t" for igual a "f". Esta componente horizontal da velocidade vai ser constante enquanto a esfera estiver no ar. Mas, quando a esfera atingir o solo, ela vai parar. Então, a componente horizontal vai para zero. É claro que a gente tem um intervalo de tempo muito pequeno aqui, que ocorre essa desaceleração. Mas a gente pode dizer que, imediatamente no momento em que atinge o solo, esta esfera vai parar. A componente horizontal nesse tempo, tf, vai para zero. A gente pode até colocar isso aqui. A partir deste ponto, a componente horizontal é igual a zero. Podemos dizer que esta parte representa a componente horizontal da velocidade da esfera B e esta outra parte representa a componente horizontal da esfera A. Vamos ver, agora, a letra (c). Explique, de forma clara e objetiva, por que as esferas chegam ao solo ao mesmo tempo, mesmo percorrendo distâncias diferentes. Faça as devidas referências às respostas das letras (a) e (b). Conforme a gente viu, no momento inicial, as duas esferas estão em repouso. A esfera A, então, vai ser abandonada e a esfera B vai ser lançada horizontalmente. No entanto, as únicas forças que estão atuando sobre cada uma das esferas é a força da gravidade. Isso vai fazer com que essas esferas sofram apenas uma aceleração vertical e para baixo. Como a resistência do ar é desprezível, as duas esferas vão sofrer a mesma aceleração. Então, as componentes verticais da velocidade vão aumentar na mesma proporção. Devido ao fato dessas duas esferas percorrerem a mesma distância vertical até atingir o solo, elas vão levar o mesmo tempo para atingir o solo. Vamos escrever isso. Em t = 0, as duas esferas estão em repouso, ou seja, elas são abandonadas neste momento. Neste momento, a velocidade, tanto da esfera A quanto da esfera B, é igual a zero. Como a única força que atua sobre cada esfera é a força da gravidade, conforme vimos na letra (a), as esferas vão sofrer uma aceleração vertical. Em t > 0, ou seja, a partir do momento em que elas forem abandonadas, elas vão sofrer uma aceleração vertical. Imediatamente depois, a componente vertical das velocidades (das velocidades de cada uma das esferas) vão aumentar na mesma proporção, pois as acelerações das esferas são idênticas, ou seja, elas são iguais. Como as distâncias verticais percorridas pelas esferas são iguais, elas levam o mesmo tempo para chegar ao solo. Como eu falei, pelo fato da força gravitacional ser a mesma para as duas esferas, elas vão sofrer a mesma aceleração. E, como elas saem da mesma altura, elas vão levar o mesmo tempo para atingir o solo, pois a aceleração é a mesma e, com isso, a velocidade aumenta na mesma proporção. Mas você vai me perguntar: o que acontece se eu aumentar a componente horizontal da velocidade da esfera B? Isso não vai afetar o tempo essa esfera vai levar para chegar no chão. A única coisa que vai mudar é o fato que essa esfera vai alcançar uma distância horizontal maior, já que ela vai ter o mesmo tempo, mas partindo com uma velocidade maior, ou seja, vai percorrer uma distância maior porque tem uma velocidade horizontal maior. Podemos escrever até isso aqui. A diferença na componente horizontal da velocidade não interfere na componente vertical. Portanto, não interfere no tempo de queda, apenas na distância horizontal alcançada. Alterando a componente horizontal, isso não muda em nada no tempo de queda. Isso só ia mudar se você adicionasse uma componente vertical, ou seja, ao invés de abandonar a esfera, você jogasse a esfera para baixo ou para cima. Isso, sim, afetaria no tempo de queda.