Questão 3c: pergunta discursiva do exame de Física Avançada 1 de 2015

RKA2G - Vamos agora resolvi a letra (c). Use um raciocínio quantitativo, incluindo equações, conforme necessário, para desenvolver uma expressão para a nova posição final do bloco. Expresse sua resposta em termos de D. Vamos montar um quadro para ajudar a gente a chegar a essa resposta. Neste quadro, a gente vai analisar cada um dos dois cenários. A gente vai analisar o que acontece com o bloco nesses dois cenários em cada uma das suas posições. Então, vamos colocar o primeiro cenário, isso quando a deformação sofrida pela mola é apenas igual a D. E, aqui, o segundo cenário, quando a deformação sofrida pela mola é o dobro desta, ou seja, 2D. A primeira coisa que a gente vai analisar nestes dois cenários é a energia potencial. No primeiro cenário, a energia potencial, que a gente já fez nas letras anteriores, a gente consegue simplesmente determinar isto desta forma. U, que é a energia potencial, vai ser igual a 1/2... Vamos colocar aqui U₁, a energia potencial no primeiro cenário. Vai ser igual a 1/2 vezes K, vezes a deformação da mola, a compressão dela, neste caso é D, elevado ao quadrado. Esta é a energia potencial no primeiro cenário. A energia potencial no segundo cenário, quando a deformação é igual a 2D, a gente também vai ter: 1/2 vezes K, vezes a deformação, que neste caso é 2D, elevado ao quadrado. A gente pode abrir isto, inclusive: 2² = 4. Então, vamos ter: 1/2 vezes K, vezes 4 vezes D². Podemos colocar este 4 para a frente e vamos ter o seguinte: 4 vezes 1/2, vezes K, vezes D². Se você olhar bem isto aqui, esta parte você já conhece, não? Isto não é igual à energia potencial no primeiro cenário, que é 1/2 vezes K vezes D²? Então, a gente pode dizer que a energia potencial no segundo cenário é igual a quatro vezes a energia potencial no primeiro cenário. E podemos guardar isto. Esta energia potencial, neste caso, foi analisada quando o bloco se encontra lá na posição inicial. E, agora, a gente pode analisar a energia cinética no momento em que o bloco se desprende da mola, ou seja, quando "x" é igual a zero. Então, vamos analisar, agora, a energia cinética em "x" igual a zero. No primeiro cenário, a gente tem que essa energia cinética vai ser igual a esta energia potencial, já que a energia potencial se transforma completamente em energia cinética, já que naquela primeira parte não tem atrito e a gente está desconsiderando a resistência do ar. A energia cinética no primeiro cenário vai ser igual à energia potencial no primeiro cenário. E o mesmo acontece no segundo cenário. A energia cinética no segundo cenário é igual à energia potencial no segundo cenário. Porém, a energia potencial neste cenário, nesta situação em que a deformação é igual a 2D, esta energia potencial é igual a quatro vezes a energia potencial do primeiro caso. E, como a energia cinética do primeiro caso é igual à energia potencial do primeiro caso, a gente pode dizer que a energia cinética no segundo cenário também vai ser igual a quatro vezes a energia cinética no primeiro cenário. Agora, já analisando isto, a gente sabe que o bloco vai alcançar uma certa distância e vai parar em uma certa posição. E essa posição que ele vai parar vai depender exclusivamente desta energia cinética que ele vai sair desta posição. A gente pode até colocar que a posição onde o bloco para, no primeiro caso, essa posição é 3D. A gente já sabe isso, já está mais do que resolvido que ele vai parar na posição igual a 3D. No segundo cenário, a gente não sabe. E, para determinar isto, a gente tem que ver o que acontece a partir desta posição x = 0. A gente sabe que, a partir desta posição, a superfície vai realizar uma força de atrito sobre o bloco e essa força de atrito vai realizar um trabalho, fazendo com que a energia cinética diminua até chegar a zero e o bloco pare nestas posições: aqui, 3D e aqui, em alguma posição que a gente não sabe. Podemos até colocar aqui. Vamos dizer que existe um trabalho, realizado pela força de atrito. Agora, para pensar a respeito disso, vamos lembrar da conservação de energia. O trabalho realizado pela força de atrito é que vai alterar a energia cinética. Então, a gente pode dizer que a energia cinética no primeiro cenário, mais o trabalho realizado pela força de atrito no primeiro cenário é igual a zero. Qual seria esse trabalho realizado pela força de atrito? O trabalho realizado pela força de atrito, neste caso, vai ser igual à força, que é a força de atrito, vezes o deslocamento, que, neste caso, é 3D. Essa força de atrito é determinada pelo produto entre o coeficiente de atrito e a força normal. Neste caso, a força normal vai ser igual à força peso, já que o bloco se encontra em uma superfície horizontal. E a força peso é igual à massa vezes a gravidade. Então, temos que o trabalho realizado pela força de atrito vai ser igual a µ, vezes "m", vezes "g", vezes o deslocamento, que é 3D. Só que esta força de atrito, como ela se opõe ao movimento, essa força não é positiva. Ela é negativa. Então, o trabalho realizado por esta força de atrito também vai ser negativo. Temos que K₁, que é a energia cinética no primeiro cenário, menos μ, vezes a massa, vezes a gravidade, vezes 3D, é igual a zero. Então, temos que K₁ vai ser igual a μ, vezes "m", vezes "g", vezes 3D. Dividindo ambos os lados por esta força de atrito, a gente chega à conclusão que 3D vai ser igual a K₁, que é a energia cinética no primeiro caso, dividido por μ, vezes a massa, vezes a gravidade. Chegamos a uma expressão para este alcance, que é 3D. E a gente pode utilizar essa ideia para determinar esta outra distância, no segundo cenário. Esta distância, ou alcance... Vamos colocar o alcance. O alcance atingido pelo bloco no segundo cenário vai ser igual a o quê? A gente viu que o alcance, ou a distância percorrida por este bloco, foi igual à energia cinética sobre a força de atrito, certo? A mesma coisa a gente vai ter aqui. A gente vai ter que este alcance vai ser igual à energia cinética (mas, neste caso, no segundo cenário) sobre a força de atrito. Uma coisa interessante, que a gente pode até perceber, é que a força de atrito não muda, já que o coeficiente de atrito é constante, a massa do bloco é a mesma e a gravidade também não se altera. Então, a força de atrito continua sendo a mesma coisa. A única coisa que vai mudar aqui é a energia cinética. Esta energia cinética é igual a quatro vezes a energia cinética no primeiro cenário. A gente pode até colocar aqui: é igual a quatro vezes a energia cinética no primeiro cenário, isso tudo dividido pela força de atrito. Quanto vale a força de atrito? μ vezes "m" vezes "g". Esta é a força de atrito. Se olhar direitinho, você percebe que esta parte, K₁ sobre μ vezes "m" vezes "g", é igualzinha a esta parte. E esta parte equivale a 3D. Então, a gente tem aqui, agora, podemos substituir tudo isto por 3D. Vamos ter um novo alcance, igual a 4 vezes 3D. Este alcance atingido pelo bloco vai ser igual a 12D. Então, a gente pode dizer o seguinte: este foi o alcance do bloco ao longo da superfície horizontal, ou seja, 12D. A posição que este bloco vai parar, a nova posição, vai ser igual a 12D. E 12D é quatro vezes o alcance anterior, ou seja, quatro vezes a posição que o bloco parou anteriormente. Esta é apenas uma forma matemática da gente dizer que a posição deste bloco vai ser quatro vezes a posição anterior. Ou seja, o alcance atingido por este bloco vai ser quatro vezes o alcance anterior, já que, no primeiro cenário, o deslocamento foi igual a D e, no segundo cenário, foi duas vezes o deslocamento do cenário anterior. Com isso, a gente teve que a energia potencial foi quatro vezes maior que a energia potencial anterior e, consequentemente, a energia cinética também foi quatro vezes maior que a anterior. Assim, na primeira situação, o bloco atingiu esta posição, igual a 3D e, na segunda situação, atingiu esta posição, igual a 12D. Então, conseguimos saber quais argumentos do raciocínio do aluno estão corretos e quais estão errados. Mas vamos voltar aqui em cima para ver se a gente respondeu tudo direitinho. Use um raciocínio quantitativo, incluindo as equações (a gente fez isso aqui), conforme necessário, para desenvolver uma expressão para a nova posição final do bloco. A gente já tem aqui. Expresse sua resposta em termos de D. Temos esta nova posição, 12 vezes D, já está em termos de D. Então, resolvemos o problema.