2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 6c

RKA3JV - Parte "C". Encontre o valor médio de "f" no intervalo -1 a 1. Primeiro, vamos relembrar que o valor médio de uma função neste intervalo é a integral de -1 até 1, ou seja, no intervalo dito, de f(x) dx divido por 1 sobre a variação de "x", neste intervalo que seria, portanto, 1 - (-1). Portanto, aqui vamos ter 1/2 vezes a integral. E aqui, vamos lembrar que a nossa função é definida por mais de uma sentença. Portanto, precisamos verificar o que acontece neste intervalo. E a definição da função, neste caso, é modificada justamente quando "x" vale zero. Portanto, aqui vamos separar em dois intervalos de -1 até zero. Portanto, integral de -1 até zero do f(x) dx, mais a integral de zero a 1 do f(x) dx. Retomando, a razão pela qual eu quebrei a integral em duas partes é porque a função, cuja a integral estamos calculando, é segmentada para x ≤ 0 e para x ≥ 0. Então, agora, vamos lá! Esta expressão toda vai ficar como 1/2 vezes a integral de -1 até zero. Agora, o f(x) voltando lá na definição. Quando x ≤ 0, vale 1 - 2sen(x) dx. Mais, agora a segunda parte, e verificamos que quando x > 0 o "f" é definido por "e" elevado a -4x. Portanto, temos a integral de zero até 1 de "e" elevado a -4x dx. Agora, podemos calcular cada uma destas duas integrais separadamente. Portanto, toda esta expressão vai ser igual a 1/2 vezes, agora, toda a expressão aqui. A primeira integral, vamos verificar qual é a antiderivada de 1 - 2senx em relação a "x". A antiderivada de 1 é simplesmente "x" e a antiderivada de senx é -cosx. Portanto, aqui vamos ter mais 2cosx. E temos que obter os valores disto computados de -1 até zero. Mais, agora vamos ter que obter esta integral aqui. A antiderivada de "e" elevado a -4x é "-e" elevado a -4x/4. E para você perceber isso, lembre-se de que a antiderivada de "e" elevado a "x" é, simplesmente, "e" elevado a "x". Mas, tendo -4x no lugar do "x", precisamos nos remeter à ideia da regra da cadeia. E a derivada de -4x é -4. Que na derivada estaria multiplicando, mas como aqui estamos fazendo justamente o caminho inverso, aparece dividindo. Para ficar bem claro, aqui temos a integral de "e" elevado a -4x. Podemos multiplicar aqui por -4, que é a derivada do -4x, e multiplicar ali fora por -1/4, que mantém a equivalência. Agora, aqui você pode perceber tranquilamente que temos a derivada de "e" elevado a -4x. E para isso acontecer, temos este -1/4 aqui fora, que é o que apareceu ali. Precisamos agora computar o valor disto de zero até 1. E tudo isso, então, ficará igual a 1/2 vezes, ao calcular esta expressão quando "x = 0", vamos ter zero mais 2 vezes o cosseno de zero. E lembrando que o cosseno de zero é 1. Este primeiro resultado vai ser simplesmente zero mais 2 vezes 1, que é 2. Menos, agora vamos calcular esta expressão quando x = -1. Portanto, -1 mais 2 vezes o cosseno de -1. Então, aquele primeiro par de colchetes se traduz nesta expressão. Agora, mais, vamos ao segundo par de colchetes. Quando "x = 1", vamos ter menos "e" elevado a -4/4. Ali no expoente 4 vezes 1 é 4, negativo. E daquilo, vamos subtrair toda aquela expressão quando "x = 0". Vamos ter "e" elevado a -4 vezes zero, que é zero. Portanto, -1/4. Vamos ter, então, isto tudo igual a 1/2 vezes. Agora, temos o 2 - (-1), 2 + 1 = 3, menos, mais 2 vezes o cosseno de -1. Então, -2cos-1. Isto, mais "-e" elevado a "-4/4". Ou, simplesmente, este mais menos fica -e elevado a -4/4. E, finalmente, menos -1/4 + 1/4. Vamos, então, agora simplificar um pouco esta expressão. Podemos adicionar 3 com 1/4. Lembrando que 3 é a mesma coisa que 12/4. Ao adicionar 1/4, vamos ter 13/4. Então, esta expressão vai ficar 13/4 - 2cos-1 menos o "e" elevado a -4/4. Tudo isto, multiplicado pelo 1/2 que já tínhamos ali. Com isso, chegamos à resposta. Não é a expressão mais linda que se espera, porém é a resposta para o problema que tínhamos aqui. Até o próximo vídeo!