2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 6a

[RKA20C] Seja a função f definida por: 1 - sen x para x ≤ 0, e e⁻⁴ˣ para x > 0. Demonstre que f é contínua em x = 0. Vamos ver o que é uma função ser contínua em x = 0. Significa que... Nós temos aqui o eixo x, temos aqui o eixo y e temos aqui uma função qualquer. No ponto 0... Se você se aproxima do 0 pela esquerda, ela deve valer um determinado valor. Quando você se aproxima pela direita, ela deve se aproximar, o limite dela deve ser um determinado valor. E, quando a função é f(0), ela vai ser esse determinado valor. Ou seja, o que queremos dizer? Que, se você se aproximar pela esquerda, o limite de f(x), quando x tende a 0 pelo lado negativo, ela tem o mesmo valor de f(0), que é o limite de f(x) quando x tende a 0 pelo lado positivo. Com isso, mostramos que não existe nenhuma descontinuidade, não existe um buraco aqui. Ou seja, ela pode tender para um valor pelo lado direito, ao mesmo valor pelo lado esquerdo, mas, se ela não for definida, ou se for definida em um outro ponto, esse valor intermediário não vai ser o mesmo valor, e ela não vai ser contínua. Bem, então, vamos agora para a nossa função. A letra a diz o seguinte... Vamos ver primeiro f(0). Para f(0), vamos pegar esta primeira função, porque é para x ≤ 0. O f(0) vai ser 1 menos 2 vezes sen 0, que vai ser igual a 1. Muito bem! Agora, vamos ver o limite de f(x) para x tendendo a 0 pelo lado negativo. Temos que é o limite de x tendendo a 0 pelo lado negativo. E a função vai ser qual? A função vai ser essa, também. Então, vai ser 1 - 2 sen x. Ora, quando x tende a 0, essa função vai tender a 1. Agora, vamos ver o limite pelo lado positivo. O limite de f(x) quando x tende a 0 pelo lado positivo. Então, vai ser o limite... A função agora, como ela tende pelo lado positivo, vai ser esta aqui de baixo, ou seja, vai ser o limite de e⁻⁴ˣ. Ora, quando x tende a zero... -4 vezes 0 = 0. Vai ser e⁰, que é igual a 1. Portanto, esta função é contínua em x = 0.