2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 5b

RKA1JV - Para a questão "A", ele pediu a reta tangente no ponto 1.400. E para calcularmos essa inclinação, nós substituímos na derivada de "W", o valor 1.400 e achamos a inclinação 44. Com isso, nós fizemos a equação da reta tangente nesse ponto onde a inclinação é 44 e parte do ponto 1.400. Na letra "B", ele pede para acharmos a segunda derivada e usar essa segunda derivada, no item anterior, para saber se nós superestimamos esse valor no tempo de 1/4 de ano. Superestimamos ou acertamos. Primeira coisa, vamos pegar e vamos pegar a derivada segunda. A derivada segunda de "W" em função do "T", nós já temos a derivada primeira aqui, basta derivar de novo. Ou seja, vamos levar essa parte aqui. Aqui nós temos um valor que depende de W(t), mas temos um valor independente que é uma constante. Vai desaparecer na derivada, senão vejamos. Aqui fica 1/25W'(t) e -300/25 que é 12, e esse 12 desaparece. Portanto, nossa segunda derivada fica sendo 1/25W'(t). Só que nós temos W'(t), então, nossa segunda derivada em função de "T" fica sendo 1/25 vezes W'(t) é isso aqui, então, 1/25W(t) - 300, então, vamos ter 1/625W(t) - 300. E essa aqui vai ser a nossa segunda derivada. Agora, para sabermos se ela foi superestimada, subestimada ou foi correta, vamos analisar da seguinte forma: nós temos aqui o gráfico de "W", aqui nós temos o tempo e nós fizemos uma determinada previsão. Vamos colocar, vamos exagerar um pouco apenas para efeito de explicação. Nós fizemos uma determinada previsão, ou seja, partimos do ponto 1.400. Agora se o "W" tiver uma inclinação para cima, vai ser uma função crescente assim. Nesse caso, como a concavidade é para cima, a derivada segunda de "W" vai ser maior do que zero. Se ela não tiver concavidade nenhuma, ou seja, for uma linha reta, nós acertaríamos e nós temos aqui W''(t) igual a zero. Agora se a concavidade dela for para baixo, for uma coisa assim, ela está crescendo, mas a concavidade é para baixo, significa que, ao pegarmos um determinado ponto, no tempo de 1/4 de ano, se esse W''(t) for menor do que zero e a concavidade for para baixo, significa que escolhemos este ponto como resposta. E, na verdade, era esse ponto aqui. Portanto, nesse caso, nós superestimamos o valor, mas se W''(t) for maior do que zero, significa a concavidade é para cima, o valor real é esse, e nós supomos este valor aqui embaixo. Portanto nós subestimamos o valor. Como é que a gente vai saber qual é o caso? Nós vamos ver se W'' no tempo zero vai ser maior, menor ou igual a zero. Ou seja, vai ser 1 sobre, isso aqui é igual, 1 sobre 625, vezes, W(t) de zero, a gente sabe que é 1.400, menos 300. Substituímos aqui nessa equação. Ao substituirmos, 1.400 menos 300, vai dar 1.100. 1.100 dividido por 625 vai ser um cara maior do que zero. Ou seja, W'' de zero vai ser um cara maior do que zero. Portanto, a concavidade dele é para cima, significa que o valor que nós estimamos foi menor do que o valor real. Portanto, nós subestimamos o valor, a resposta é subestimada.