2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 3 (a e b)

RKA2G - Olá, tudo bem? Vamos resolver aqui mais uma questão da prova. "Seja R uma região do primeiro quadrante definida pelos gráficos de f(x) = 8x³ e g(x) = sen(πx), como mostra a figura ao lado." Aqui nós temos a função de 8x³, que é esta, e aqui nós temos a função g(x) = sen(πx). E este ponto aqui é o ponto onde "x" é igual a 1/2 e "y" é igual a 1. Letra A: escreva a equação para a reta tangente para o gráfico "f" sendo x = 1/2. O que nós temos que fazer aqui é observar a função f(x) no gráfico, encontrar a reta tangente no ponto x = 1/2 e escrever uma equação para ela. Para melhorar um pouco essa visualização, eu vou fazer aqui o gráfico de f(x). Vou colocar aqui a letra A, que a gente está resolvendo, aqui o eixo "y" e aqui o eixo "x". Aqui nós temos o eixo "x" e aqui f(x). A função f(x) = 8x³ seria esta. Podemos redesenhá-la aqui, mais ou menos deste jeito. Aqui neste ponto, mais ou menos, seria o ponto em x = 1/2. E obviamente, isto vai nos dar um retorno, vai nos dar uma função f(x). Se a gente colocar aqui (1/2)³, vamos ter 8/8 e 8/8 é igual a 1. Então, este é o ponto (1/2, 1), como já estava apresentado aqui. O que o problema está pedindo é para a gente encontrar uma equação para a reta tangente a este ponto. Neste ponto, nós vamos ter uma reta tangente. O objetivo deste problema vai ser encontrar a equação para essa reta tangente. Para fazer isso, a primeira coisa que a gente tem que fazer é encontrar a inclinação dessa reta. E a inclinação de uma reta tangente a uma curva é a mesma coisa que a derivada daquela função em um determinado ponto. Então, vamos fazer o quê? Vamos encontrar a derivada da função "f" no ponto x = 1/2. E qual seria a derivada da função f(x), ou seja, f'(x)? f'(x) vai ser igual à derivada da função f(x). Derivando f(x), a gente joga o 3 para a frente e vamos ter 3 vezes 8, que é igual a 24, e subtrai 1 do expoente. Ou seja, "x" elevado a (3 - 1), que é igual a x². Esta é a derivada da função f(x). Agora podemos encontrar a derivada dessa função no ponto x = 1/2. Vamos fazer isso. A derivada no ponto x = 1/2 vai ser igual a 24, vezes 1/2, elevado ao quadrado. Vai ser igual, então, a 24 vezes... Para (1/2)², basta elevar os dois números ao quadrado. 1² = 1 e 2² = 4. Assim, vamos ter 24 vezes 1/4, que é a mesma coisa que 24 dividido por 4. E 24 dividido por 4 é igual a 6. Então, isto corresponde à inclinação da reta tangente. A reta tangente vai ter uma inclinação n = 6. Agora que já temos a inclinação, estamos quase conseguindo encontrar a equação dessa reta. Lembrando que a equação de uma reta é esta: y = n (que é o coeficiente angular ou a inclinação da reta), vezes x + b (em que "b" é o coeficiente linear da reta, o ponto em "x" em que y = 0). Como a gente já tem o valor de "y", que vale 1, tem o valor de "x", que é igual a 1/2, e o valor de "n", que é igual a 6, a gente consegue encontrar o valor de "b". Para fazer isso, basta substituir os valores na equação. y = 1, n = 6, x = 1/2, mais "b". Assim, vamos ter 1 sendo igual a 6 vezes 1/2, que é igual a 3, mais "b". Subtraindo por 3 em ambos os lados desta equação para encontrar o "b", vamos ter 1 - 3, que é igual a -2, e 3 - 3, que é igual a zero. Assim, sobra apenas o "b". Então, b = -2. Podemos voltar à equação da reta, que já temos o valor de "b" e o valor de "n", e montar a equação dessa reta. A equação da reta tangente no ponto x = 1/2 vai ser: "y" igual ao coeficiente angular, que é a inclinação da reta, que vale 6, vezes x + b. Só que "b" é igual a -2, então, vamos ter aqui -2. Esta é a equação da reta tangente neste ponto x = 1/2. Vamos voltar aqui em cima. Letra B: Encontre a área de R. R é esta área aqui, a figura formada entre estas duas funções. A minha pergunta para você agora é: como a gente consegue determinar a área desta figura? Para determinar esta área, a gente poderia simplesmente calcular a área abaixo de toda esta curva. E, para calcular a área de toda esta curva, basta calcular a integral desta função, que seria a função de sen(πx), depois calcular a área abaixo desta outra curva, que seria a função f(x) = 8x³ e depois subtrair uma da outra, que seria a integral desta função 8x² e depois subtrair o resultado de um pelo outro. Então, vamos fazer isso. Podemos calcular esta área, vindo aqui embaixo, da seguinte forma: A área vai ser igual à integral entre os dois pontos, que neste caso é entre zero e x = 1/2, da função de g(x). A função de g(x) é sen(πx), então já podemos colocar aqui: seno de π vezes "x". E menos a integral da função f(x), mas a gente já pode colocar tudo dentro da mesma integral. Podemos colocar aqui: menos... Abrir o parênteses aqui... Menos 8x³. Tudo isso vezes dx. Agora que a gente já tem os intervalos de integração e já tem a diferença entre estas duas funções, basta calcular agora a antiderivada de cada uma delas e calcular essas antiderivadas nestes dois pontos. Vamos fazer isso. Qual seria a antiderivada de sen(πx)? A antiderivada de sen(πx) vai ser igual a -1/π vezes cos(πx). Vamos colocar aqui: -1/π, vezes cos(πx). Mas de onde eu tirei isto? Você poderia fazer um método de substituição aqui e calcular esta integral, mas é legal fazer isto mais rápido conhecendo uma antiderivada de sen(πx). E uma antiderivada de sen(πx) seria -1/π vezes cos(πx), já que, se você derivar isto, o que você vai ter? Você vai utilizar a regra da cadeia, colocar o π para fora e vai ter π/π, que vale 1, e, derivando o cosseno, você vai ter menos seno. "Menos" vezes "menos" vai ser um valor positivo. Então, a gente vai voltar para isto: sen(πx). Agora a gente também pode calcular a antiderivada de 8x³. A antiderivada de 8x³ vai ser igual a 2x⁴, já que, se a gente derivar isto, vamos ter o 4 aqui na frente, 2 vezes 4 = 8 e 4 - 1 = 3. Então, vamos ter 8x³. Isto indo de zero a 1/2. Ok, tudo isto vai ficar igual a... Agora basta fazer a diferença disto calculado em 1/2 com isto calculado em zero. Vamos fazer primeiro isto. -1/π, vezes o cosseno de π, vezes 1/2 (ou seja, π/2 neste caso), menos 2 vezes x⁴, ou seja, (1/2)⁴, isso menos tudo isto calculado em zero: -1/π, vezes o cosseno de π vezes 0, menos 2 vezes (0/2)⁴. Ok, agora já podemos calcular tudo isto. O cosseno de π/2 é igual a zero. Então, esta primeira parte vai ser zero. Menos... Toda esta área vai ser igual a menos... (1/2)⁴ vai ser igual a 1/16. 2 vezes 1/16 vai ser igual a 1/8, então, vamos ter -1/8, menos... π vezes zero é zero, e o cosseno de zero é igual a 1. Então, vamos ter aqui 1 vezes -1/π. 1 vezes -1/π é igual a -1/π. Menos... Aqui é zero mesmo, então, nem precisamos colocar esta parte. Calculando isto, nós vamos ter: algo sendo igual a -1/8, "menos" vezes "menos" é "mais", então, mais 1/π. Este é o resultado. É claro que você pode calcular um pouco mais a partir disto, mas chegando até esta parte já é o suficiente como resposta da prova.