Como simplificar expressões irracionais (subtração)

RKA - Pediram para a gente subtrair toda essa maluquice aqui. Parece intimidar, mas, se a gente realmente se concentrar, deve ser bem simples subtrair e simplificar; porque, já no começo, tenho 4 vezes a raiz quarta de "81x⁵". E, disso, quero subtrair 2 vezes a raiz quarta de "81x⁵". Então, você pode dizer que tem 4 de algo (e vou circular em amarelo). Tenho 4 disso. Poderia ser 4 limões e quero subtrair 2 disso. São exatamente a mesma coisa. Há uma raiz quarta de "81x⁵". Se tenho 4 limões e quero subtrair 2 limões, vou ficar com 2 limões. Ou se tenho 4 disso e tiro 2 disso, terei 2 disso restantes. Esses termos aqui se simplificam em duas vezes a raiz quarta de "81x⁵". E obtive esse 2 apenas subtraindo os coeficientes. Quatro coisas menos duas coisas é igual a duas dessas coisas. E, é claro, ainda temos essa raiz quadrada negativa de x³. Agora, eu quero tentar simplificar o que está dentro dos radicais. Esse aqui tem a raiz quarta e, aqui, temos uma raiz quadrada. Primeiro, vamos ver se 81 é algo elevado à quarta potência, ou se pode ser fatorado em algo que é alguma coisa elevada à quarta potência. 81 em fatoração prima é 3 vezes 27. 27 é 3 vezes 9. E 9 é 3 vezes 3. 81 é exatamente 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3. 81 é, na verdade, 3⁴. O que é conveniente, porque vamos extrair a raiz quarta disso. E o x⁵ podemos escrever como o produto (deixa eu escrever aqui para não bagunçar). Vou escrever o radical como 3⁴ vezes x⁴ vezes x. x⁴ vezes "x" é igual a x⁵. Estou extraindo a raiz quarta de tudo isso. Extrair a raiz quarta disso tudo é igual a extrair a raiz quarta disso. Não vou pular etapas. Estou extraindo a raiz quarta de tudo isso. E, claro, tem um 2 na frente. x³ pode ser escrito como x² vezes "x", e fica menos a raiz quadrada de x² vezes "x". Separei, assim, aplicando as propriedades da radiciação. Agora, como podemos simplificar isso um pouco? Provavelmente está se acostumando com o padrão. Isso é igual à raiz quarta de 3⁴ vezes a raiz quarta de x⁴ vezes a raiz quarta de x. Vamos pular direto para isso. Qual é a raiz quarta... (deixa eu escrever explicitamente, embora não precise fazer isso)... isso é o mesmo que a raiz quarta de 3⁴ vezes a raiz quarta de x⁴ vezes a raiz quarta de "x" e 2 multiplica tudo isso. Isso aqui é menos a raiz quadrada principal de x² vezes a raiz quadrada principal de "x". Se tentarmos simplificar a raiz quarta de 3⁴, obteremos apenas 3. Logo, temos um 3 aqui. A raiz quarta de x⁴ será "x"... Na verdade, eu acabei de me lembrar. Temos que tomar cuidado porque não é apenas "x". Porque e se "x" for negativo? Se "x" for negativo, então x⁴ será um valor positivo e você extrai a raiz quarta. Lembre-se de que é uma raiz quarta, você obterá uma versão positiva de "x" ou, na verdade, o módulo de "x". Aqui, obterá o módulo de "x". E então, bom... você poderia argumentar que "x" precisa ser positivo. Se isso for bem definido nos números reais. Dentro do radical, tudo precisará ser positivo. Vamos continuar assim por ora. E temos a raiz quarta de "x". Aqui, a raiz quadrada de x², pela mesma lógica, será o módulo de "x". E isso será apenas a raiz quadrada de "x". Vamos, então, multiplicar tudo. Temos 2 vezes 3 vezes o módulo de "x". 2 vezes 3 é 6, vezes o módulo de "x", vezes a raiz quarta de "x" menos o módulo de "x" vezes a raiz quadrada de "x". E não podemos fazer outras subtrações, porque você precisa compreender que isto é uma raiz quarta e isso é uma raiz quadrada. Se essas fossem raízes com os mesmos índices, então, talvez, pudéssemos simplificar mais. Terminamos e simplificamos inteiramente (se considerar que isso é definido para números reais). O domínio para isso aqui, o que está no radical, tem que ser positivo. Em cada um desses casos, eles precisam ser positivos porque estamos lidando com números reais. Todos esses precisam ser positivos. Em seu domínio, "x" tem que ser igual ou maior que "0". Você pode assumir que o módulo de "x" seja "x", mas eu vou deixar assim. Se restringir o domínio, você pode tirar os sinais de módulo.