Derivação de Einstein para a fórmula da adição da velocidade vetorial

RKA1C Vamos dizer que esta sou eu flutuando no espaço. Meu sistema de coordenadas, meu ponto de referência, nós vimos isto antes, chamaremos de ponto de referência S. Então, S é (x, y). Pode ser qualquer ponto no espaço-tempo de coordenadas (x, y). Vamos dizer que nós temos minha amiga, que já citamos em vários vídeos anteriores, viajando com uma velocidade relativa a mim, que vamos chamar de v. Vamos desenhá-la em outra cor. Então, a minha amiga está aqui e, o ponto de referência dela, nós chamaremos de S'. Você pode indicar qualquer evento referente a ela através das coordenadas (x', ct'). Ela está a uma velocidade v relativa a mim. Você pode escrever essa coordenada também como t' se preferir, mas nós estamos escrevendo como ct' para que tenhamos unidades semelhantes durante o exercício. Agora vamos dizer que nós temos um terceiro personagem, isso vai ficar bem interessante! Vamos dizer que esse terceiro personagem está viajando com uma velocidade u do meu ponto de referência. Aqui está o terceiro personagem viajando com uma velocidade u do meu ponto de referência. Então, u é igual a: Δx, que é a variação da distância, sobre ∆t, que é a variação do tempo. Sabendo todas essas informações, vamos ver o que nós conseguimos descobrir! Se nós soubermos o que Δx e Δt são e se soubermos o que v é, nós poderemos descobrir o que a velocidade u será do ponto de referência de S', do ponto de referência da minha amiga, que está aqui desenhada de roxo. O que nós queremos descobrir é qual será o Δx' sobre Δt'. Vamos escrever aqui, continuando com a cor roxa porque nós estamos nos referindo ao ponto de referência da minha amiga: Δx' sobre Δt'. Se nós descobrirmos isso, saberemos qual será a velocidade u do ponto de referência de S'. Para isso, vamos voltar às transformações de Lorentz e, se você tem alguma dúvida sobre as transformações de Lorentz, não deixe de rever os vídeos sobre o assunto. Primeiro, vamos pensar o que Δx' vai ser. Δx' é igual a: fator de Lorentz, também representado pela letra gama (Γ), vezes (agora vamos fazer em outra cor para diferenciar) ∆x menos β vezes ∆ct. Vamos fechar os parênteses. E nós queremos dividir por ∆t'. Bem, vamos voltar para a transformação de Lorentz... Vou escrever do jeito como estou acostumada. Então, continuando, ∆ct' é igual a: c vezes ∆t'. O que é igual a: fator de Lorentz, representado pela letra Γ, vezes (vamos trocar a cor aqui de novo) c∆t, que é a mesma coisa que ∆ct, menos β∆x. Fechando os parênteses. Mais uma vez, eu poderia ter escrito como ∆ct ou c vezes ∆t, como nós fizemos, porque o c dentro ou fora aqui dessa expressão, na frente, no começo ou no meio, ele não está alterando a operação, mas nós já sabemos disso. Então, se quiséssemos resolver somente o ∆t', nós poderíamos dividir ambos os lados por c. Vamos fazer isso! Se nós dividirmos tudo por c, o que nós temos? Então, vamos dividir este lado por c, aqui e aqui também. Essa é uma forma, mas temos visto isso em outros vídeos que você poderia reconhecer ou você pode ter visto isso em alguns livros. Estas duas expressões são iguais, não há necessidade de repeti-las. Aqui, sempre elimina o c. Então, ∆t' é igual a: Γ vezes... c vezes ∆t: simplifica o c (vamos fazer de novo de branco). ...fica ∆t, menos β... Bom, vamos fazer aqui em cima. β, nós sabemos que é igual a v sobre c. Então, β sobre c é igual a v sobre c², e isso nós podemos usar para substituir. Aqui ficaria: v sobre c², vezes ∆x. Fechando os parênteses. Como nós já sabemos o que o ∆t' é, podemos substituir aqui na equação do lado esquerdo. Então, ∆t' é igual a: Γ vezes ∆t (somente ∆t porque é do meu sistema de coordenadas, não é ∆t'), menos v sobre c², vezes ∆x. Fecha os parênteses. Imediatamente, temos pelo menos uma simplificação que nós podemos fazer: a letra Γ do numerador pode ser simplificada com a letra Γ do denominador. Então, nós temos que ∆x' sobre ∆t' é igual a: ∆x menos β... β, nós vimos aqui em cima que também pode ser v sobre c. Então, menos v sobre c, vezes c∆t... Podemos tirar o c fora, como já vimos antes, que é a mesma coisa que ∆ct. ...sobre: ∆t menos v sobre c², vezes ∆x. Então, ∆x' sobre ∆t' é igual a: ∆x menos... Aqui, o c pode ser simplificado. ...então, menos v vezes ∆t, sobre: ∆t menos v sobre c², vezes ∆x. Parece que estamos chegando perto, mas não temos o ∆x e o ∆t, nós temos quanto seria o ∆x para um certo ∆t, como aparece aqui em cima no quadro referente ao terceiro viajante. Então, o que nós podemos fazer é dividir o numerador e o denominador por ∆t, o que é equivalente a multiplicar tanto numerador quanto denominador por 1 sobre ∆t, que é o que nós vamos fazer aqui, multiplicar o numerador por 1 sobre ∆t e o denominador também por 1 sobre ∆t. E por que estamos fazendo isso? Bem, fazendo isso, o primeiro termo do numerador será: ∆x vezes 1 sobre ∆t é ∆x sobre ∆t, menos... v vezes ∆t, vezes 1 sobre ∆t, os dois ∆t podem ser simplificados, então, fica apenas menos v, sobre: ∆t vezes 1 sobre ∆t, os dois ∆t podem ser simplificados, fica apenas 1, menos v sobre c², vezes ∆x sobre ∆t. Isso é muito legal! Acabamos de descobrir a velocidade desse sistema de coordenadas do ponto de referência S', em termos da velocidade relativa entre o ponto de referência S' e o meu ponto de referência. ∆x sobre ∆t é a velocidade do meu ponto de referência. E nós sabemos outras coisas também. Isto é apenas ∆x sobre ∆t, e este é apenas v. Ou podemos escrever como nós vimos antes: ∆x sobre ∆t é igual a u. Então, u menos v, sobre 1 menos... Já vamos colocar aqui que isso é u. ...1 menos v vezes u (ou u vezes v) sobre c². Essa é uma derivação muito, muito útil! No próximo vídeo, vamos aplicar alguns números nessa fórmula que concluímos agora, para que possamos apreciar o quanto isso também é divertido. Até breve!