Calculando a velocidade vetorial neutra

RKA1C Esta tela é a mesma do vídeo anterior, eu só reorganizei um pouco para continuarmos. Assim, agora nós podemos fazer os cálculos e resolver o v. Vamos primeiro simplificar o lado direito desta equação: v menos -v, será 2v. E 1 menos -v²... Bom, negativo com negativo fica positivo, então essa parte aqui do denominador será: 1 mais v² sobre c². Vejamos o que podemos fazer em seguida. Nós queremos resolver o v, então, nós podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por 1 mais v² sobre c², neste lado aqui e também neste lado aqui. 1 mais v² sobre c². Bom, esta expressão aqui é igual a esta expressão, então as duas podem ser eliminadas. E, no lado esquerdo, nós podemos distribuir o 0,8c. Nós ficaremos com: 0,8c vezes 1, que é 0,8c, mais 0,8c vezes v² sobre c², este c aqui pode ser simplificado com um desses no denominador. Então, ficaremos com: 0,8c mais 0,8v² sobre c. Isso é igual ao que sobrou do lado de cá, que é 2v. Lembrem-se: nós queremos resolver o v. Então, estamos basicamente montando uma quadrática em v. Vamos encontrar algum espaço aqui em cima, vamos direto para cá. Continuando nossos cálculos, vamos subtrair 2v de ambos os lados da equação. Escrevendo em ordem de grau, ou seja, da variável com maior expoente para a variável de menor expoente, do lado esquerdo da equação, nós temos: 0,8v² (porque é a variável de maior expoente), sobre c, menos 2v (porque estamos subtraindo 2v dos dois lados da equação), mais 0,8c, igual a 0. Por que zero? Porque 2v, que sobrou do lado direito da equação, menos 2v, que é o que estamos subtraindo de cada lado, dá zero. E, se nós quisermos simplificar um pouco, podemos multiplicar ambos os lados por c. Então, isto aqui tudo, nós podemos multiplicar por c, isto aqui também podemos multiplicar por c, e vamos ter: 0,8v² (porque esses dois c podem ser simplificados), menos 2vc mais 0,8c², igual a 0. E nós podemos continuar a manipular isso algebricamente ou podemos ir direto para a fórmula quadrática aqui, para resolver v. Esta fórmula é chamada "fórmula de Bhaskara" e não é o ponto principal da nossa aula, mas vou escrevê-la para que vocês possam acompanhar o raciocínio. Vou fazer isso em uma cor diferente. A fórmula de Bhaskara nos mostra que a equação do segundo grau, que é o que temos aqui... Vamos apresentá-la da forma tradicional: "ax² + bc + c = 0". Notem como é semelhante essa equação do segundo grau com a nossa equação do segundo grau. Então, também podemos determinar que esse 0,8 vai ser o nosso a, o -2c vai ser o nosso b, e o 0,8c² vai ser o nosso c. Então, essa equação do segundo grau pode ser resolvida através do método Bhaskara e com a seguinte fórmula: x é igual a: -b mais e menos raiz quadrada de b² menos 4ac, tudo isso sobre 2a. Agora, nós vamos simplesmente substituir nessa fórmula as variáveis que já conhecemos. Vamos colocar o quadro um pouco para cima para termos mais espaço. Então, o x é o nosso v, é aquilo que nós queremos saber. O v é igual a: -b, que é o nosso -2c... Menos com menos, positivo. Então, fica 2c mais e menos a raiz quadrada de b²: -2c² menos 4, vezes 0,8 vezes 0,8c². Tudo isso sobre 2a, que é 2 vezes 0,8. É só acompanhar as letras e o que nós determinamos aqui em cima, e fazer as substituições. Então, continuando a conta, v é igual a: 2c mais e menos... Raiz quadrada de -2c², dá 4c², menos... 4c² vezes 0,8 vezes 0,8, dá -4c², vezes 0,64, tudo isso sobre 1,6. O v é igual a: 2c mais e menos raiz quadrada de 4c² vezes 1 menos 0,64 (porque nós fatoramos o 4c²), sobre 1,6. E agora tudo passa a ser álgebra! O v é igual a: 2c mais e menos 2c (se eu tirar o 4c² do radical, será igual a 2c) vezes raiz quadrada de 0,36, sobre 1,6. Já vamos deixar anotado do lado: a raiz quadrada de 0,36 é 0,60. Vamos colocar o quadro um pouco mais para cima e teremos v é igual a: 2c mais e menos 1,2c (porque 2 vezes 0,60 é 1,2), sobre 1,6. Agora as coisas estão ficando bem mais simples! Então, nós temos dois possíveis valores para v, um fazendo a adição nesta parte superior, e outro fazendo a subtração. Mas, se nós fizermos a adição aqui em cima, nós vamos acabar com 3,2c dividido por 1,6, o que será uma velocidade maior do que a da luz. Podemos eliminar a versão positiva disso, pois sabemos que a resposta vai ser a versão negativa. Então, é v igual a: 2c menos 1,2c sobre 1,6. Isso vai ser igual a: 0,8c sobre 1,6. Como 0,8 é a metade de 1,6, isso vai dar 0,5. O v é igual a 0,5c, e isso é muito, muito legal! Nós conseguimos encontrar um ponto de referência que você pode imaginar que está bem no meio. O que nós sabemos agora? Bem, vamos colocar o nosso quadro inicial de volta. Nós sabemos que A, do ponto de referência de A, ele parece que está parado. O amigo de A, que é B, está se movendo com uma velocidade relativa de 0,8c da velocidade da luz. Poderia haver uma terceira parte, C, que define um ponto de referência que está se distanciando de A com a velocidade de metade da velocidade da luz. Então, esse v aqui seria 0,5c. E, do ponto de referência de A, parece que a velocidade de C está mais próxima da de B que da de A. Mas estamos lidando com o mundo relativista de Einstein! Se olharmos a partir do ponto de referência de C, parece que ambos A e B se afastam de C com uma velocidade de 0,5c. Então, B estaria com uma velocidade que podemos entender como 0,5c positivo. Então, 0,5c. E, aqui no A, você poderia dizer que a velocidade é de 0,5c negativo, então -0,5c. Agora, o que é verdadeiramente legal é que somos capazes de encontrar um quadro de referência que você poderia imaginar que está bem no meio. Algumas pessoas não gostam dos diagramas de espaço-tempo de Minkowski porque parece assimétrico: apesar de B estar se movendo do ponto de referência do A com uma velocidade positiva de 0,8c da velocidade da luz, se você analisar através do ponto de referência de B, A é que está se movendo para a esquerda com uma velocidade de 0,8c. Mas agora nós podemos definir um ponto de referência neutro, onde ambos estão se movendo em direções diferentes com a mesma velocidade, o que faz com que a interpretação do diagrama espaço-tempo de Minkowski se torne um pouco mais fácil, nós vamos fazer isso em vídeos futuros... Esse foi um problema e um desafio divertidos de se resolver! Continuem treinando. Encontro vocês no próximo vídeo!