Exemplo: análise da distribuição da soma de duas variáveis aleatórias normalmente distribuídas

RKA7MP - Shinji se desloca para o trabalho e fica preocupado por estar ficando sem combustível. O montante de combustível que utiliza segue uma distribuição normal a cada parte do deslocamento dele. Mas o montante de combustível que ele usa no caminho de casa varia mais. Os montantes de combustível que ele usa para cada parte do deslocamento são também independentes uns dos outros. Aqui são sumarizadas as estatísticas para o montante de combustível que Shinji usa para cada parte de seu deslocamento. Nós temos aqui que para ir ao trabalho ele gasta uma média de 10 litros com um desvio padrão de 1,5 l. E para voltar para casa, ele gasta em média 10 l com um desvio padrão de 2 l. Suponha que Shinji tenha 25 l de combustível no tanque do carro dele, e ele pretende dirigir até o trabalho e de volta para casa. Qual é a probabilidade de Shinji ficar sem combustível? A primeira coisa que nós temos que fazer é descobrir qual é a média de litros que Shinji vai gastar para ir ao trabalho e voltar para casa. A soma de combustível médio gasto para ir ao trabalho e para voltar para casa vai ser igual a 20 l. E a soma do desvio padrão? Nós poderíamos simplesmente somar estes dois valores? A resposta é não. Isso porque as duas variáveis são variáveis independentes. Porque são independentes uma da outra, nós não podemos simplesmente somá-las. A soma do desvio padrão destas duas partes do seu deslocamento vai ser calculada a partir da seguinte fórmula: o desvio padrão ao quadrado da soma das duas partes do deslocamento vai ser igual ao desvio padrão ao quadrado da ida ao trabalho mais o desvio padrão ao quadrado da volta para casa. Substituindo os valores, nós temos 1,5² l mais 2². O desvio padrão ao quadrado da soma das duas partes do deslocamento vai ser igual a 2,25 mais 4, que é igual a 6,25. A √6,25 é igual a 2,5. Nós fazemos a raiz quadrada deste valor porque nós queremos saber a soma dos desvios padrões e não a soma ao quadrado. A √6,25 vai ser 2,5. O desvio padrão das duas partes do deslocamento vai ser igual a 2,5. Com estes valores estabelecidos, nós podemos, agora, descrever a distribuição normal das duas partes do deslocamento e utilizá-la para responder a questão. Nós vamos fazer uma distribuição normal, a média das duas partes do deslocamento é 20 l, nós vamos localizar aqui 25 l, que é a quantidade de litros de combustível que Shinji possui no carro, e o que nós precisamos fazer é saber quanto é a área desta região após os 25 l. Para isso, nós vamos calcular o "z score", o "z" valor. "z" vai ser igual a 25 menos 20, dividido por 2,5. Se a gente diminuir 25 por 20, vai ser igual a 5. 5 dividido por 2,5 é igual a 2. Para identificar o quanto equivale esta parte da área, nós precisamos utilizar uma tabela Z. A gente vai aqui na tabela, a gente olha 2, é 2,0, então, é a primeira coluna, 2,0 vai ser igual a 0,9772. Esta parte da área vai ser equivalente a 0,9772 Para calcular a probabilidade de Shinji ficar sem combustível, nós vamos diminuir este valor por 1. Então, vai ser 1 menos 0,9772, que vai ser igual a 0,0228. A gente pode multiplicar este valor por 100, e nós vamos ter que a probabilidade de Shinji ficar sem combustível é de 2,28%.