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Curso: Estatística Avançada > Unidade 8

Lição 4: Combinação de variáveis aleatórias

Combinação de variáveis aleatórias

Efeito na média, desvio-padrão e variância

Podemos formar novas distribuições combinando variáveis aleatórias. Se soubermos a média e o desvio-padrão das distribuições originais, podemos usar essas informações para calcular a média e o desvio-padrão da distribuição resultante.

Podemos combinar médias diretamente, mas não podemos fazer isso com desvios-padrão. Podemos combinar variâncias, desde que seja razoável assumir que as variáveis sejam independentes.

	Média	Variância
Somando: $T = X + Y$ ‍	$μ_{T} = μ_{X} + μ_{Y}$ ‍	$σ_{T}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍
Subtraindo: $D = X - Y$ ‍	$μ_{D} = μ_{X} - μ_{Y}$ ‍	$σ_{D}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍

Aqui estão alguns fatos importantes sobre a combinação de variâncias:

Certifique-se de que as variáveis sejam independentes ou que seja razoável assumir independência antes de combinar variâncias.
Mesmo quando estamos subtraindo duas variáveis aleatórias, ainda somamos suas variâncias; subtrair duas variáveis aumenta a variabilidade total dos resultados.
Podemos calcular o desvio-padrão de distribuições combinadas tirando a raiz quadrada das variâncias combinadas.

Exemplo 1: estabelecendo a independência

Para combinar as variâncias de duas variáveis aleatórias, precisamos saber, ou estar dispostos a assumir, que as duas variáveis são independentes.

QUESTÃO A (Exemplo 1)

Para quais pares de variáveis seria razoável supor independência?

(Escolha A)
$T$ ‍: a idade de um professor selecionado aleatoriamente em uma escola
$S$ ‍: a idade de um aluno selecionado aleatoriamente em uma escola
(Escolha B)
$S$ ‍: quantas horas uma pessoa selecionada aleatoriamente dormiu ontem
$A$ ‍: quantas horas essa mesma pessoa esteve acordada
(Escolha C)
$I$ ‍: a renda anual de uma pessoa selecionada aleatoriamente
$C$ ‍: quanto dinheiro ela gastou com roupas no último ano

Exemplo 2: notas no SAT

Aproximadamente 1,7 milhões de estudantes fizeram a prova SAT em 2015. Cada estudante recebeu uma nota em análise crítica e em matemática.

Aqui está o resumo das estatísticas para cada parte do teste em 2015:

Matéria	Média	Desvio-padrão
Análise crítica	$μ_{C R} = 495$ ‍	$σ_{C R} = 116$ ‍
Matemática	$μ_{M} = 511$ ‍	$σ_{M} = 120$ ‍
Total	$μ_{T} = ?$ ‍	$σ_{T} = ?$ ‍

Suponha que escolhemos um estudante aleatoriamente nessa população.

Questão A (Exemplo 2)

Qual é a média da soma das notas de um estudante em análise crítica e matemática?

Questão B (Exemplo 2)

Qual é o desvio-padrão da soma das notas de um estudante em análise crítica e matemática?

Exemplo 3: inspeções de itens

Cada unidade de um determinado item em uma fábrica é inspecionado por

4

empregados. O tempo que cada funcionário leva para inspecionar o item tem média de

30

segundos e desvio-padrão de

6

segundos. Além disso, o tempo que um funcionário leva para inspecionar um item não é afetado pelo tempo que outro funcionário leva.

Seja

T

o tempo total que

4

funcionários levam para inspecionar um item selecionado aleatoriamente.

Questão A (Exemplo 3)

Qual é o tempo total médio que leva para $4$ ‍ empregados inspecionarem um item selecionado ao acaso?

Questão B (Exemplo 3)

Qual é o desvio-padrão do tempo total que leva para $4$ ‍ empregados inspecionarem um item selecionado ao acaso?

Exemplo 4: diferenças em alturas

Um sociólogo tomou uma grande amostra de membros das forças armadas e examinou as alturas dos homens e mulheres na amostra. O resumo das estatísticas das alturas das pessoas no estudo é mostrado abaixo.

Suponha que escolhemos um homem e uma mulher do estudo aleatoriamente e examinamos a diferença entre suas alturas. Seja

M

a altura do homem,

W

a altura da mulher e

D

a diferença entre suas alturas

(D = M - W)

	Média	Desvio-padrão
Homem	$μ_{M} = 178 cm$ ‍	$σ_{M} = 7 cm$ ‍
Mulher	$μ_{W} = 164 cm$ ‍	$σ_{W} = 6 cm$ ‍
Diferença	$μ_{D} = ?$ ‍	$σ_{D} = ?$ ‍

Questão A (Exemplo 4)

Qual é a média da diferença entre as duas alturas?

Questão B (Exemplo 4)

Qual é o desvio-padrão da diferença entre as duas alturas?

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