Vetores equivalentes

RKA4JL - Neste vídeo eu retirei um exemplo da página da Khan Academy sobre vetores equivalentes. Então eu quero discutir rapidamente com você se esses dois vetores são equivalentes. Relembrando rapidamente, dois vetores são equivalentes quando possuem a mesma magnitude, a mesma direção e o mesmo sentido. Se caso uma dessas coisas for diferente em um dos vetores, eles não serão equivalentes. No nosso exemplo, eu estou perguntando se os vetores "u" e "w" são equivalentes. Aqui nós temos esse vetor "u" e aqui nós temos esse vetor "w". A pergunta que eu quero fazer para você é: esses dois vetores são equivalentes? Já de cara a gente percebe que eles não são equivalentes pelo fato de terem direções e sentidos diferentes. Esse vetor aqui, por exemplo, está apontado para a direita inferior, enquanto esse outro vetor está apontado para a esquerda inferior. Então esses dois vetores não são equivalentes porque possuem diferentes direções e sentidos. A gente pode cortar essa primeira opção porque eles não são equivalentes. E por que eles não são equivalentes? Porque possuem direções e sentidos diferentes. Mas enfim, apesar desses vetores terem direções e sentidos diferentes, eles ainda podem ter a mesma magnitude já que as outras opções que nós temos aqui admitem isso. Por exemplo, em (B): não, eles têm a mesma magnitude, mas sentidos diferentes; em (C): não, eles têm o mesmo sentido, mas magnitude diferente; em (D): não, eles têm magnitudes e sentidos diferentes. A gente já sabe que eles não têm o mesmo sentido, então a gente também pode anular essa opção aqui. Então estamos apenas com essas duas opções. Agora, será que esses dois vetores terão a mesma magnitude? Vamos observar agora. Se a gente pegar esse vetor aqui e traçar uma das suas componentes na horizontal... Então se a gente traçar uma das suas componentes na horizontal, a gente vai vir até aqui, até esse ponto mais ou menos. Então para a gente determinar a componente desse vetor "u" na horizontal, basta a gente determinar o Δx (delta). O Δx neste caso será igual a -3 menos -8 e isso é igual a 5. Então essa vai ser a componente na horizontal. Se a gente quer determinar a componente vertical, a gente faz o mesmo. Parte deste ponto e vem até aqui embaixo, até este ponto. E aqui nós vamos determinar essa componente na vertical. Então teremos o nosso Δy. O Δy neste caso vai ser -8 menos -2, e isso é igual a -6. Então já temos essas duas componentes aqui, certo? Podemos fazer o mesmo com esse vetor "w". Primeiro a gente vai determinar a componente na horizontal. Basta vir para a esquerda até esse ponto. Então aqui está nossa componente horizontal. E para determinar essa componente horizontal, novamente é só fazer o Δx. Δx neste caso será igual a 3 menos 7. 3 menos 7 é igual a -5. Agora a gente parte desse ponto aqui e vai até embaixo, até este ponto. Isso aqui seria nossa componente vertical. E para a gente determinar essa componente vertical, basta fazer o Δy, que neste caso que vai ser igual a 2 menos 8. 2 menos 8 é -6. Então temos aqui os componentes para esse vetor "u" e aqui as componentes para esse vetor "w". Agora para a gente determinar o módulo, ou seja, a magnitude desse vetor "u", a gente pode fazer desse jeito. Temos aqui nosso vetor "u"... Na verdade a gente pode utilizar esta notação [ |u| ] ou essa notação aqui, com barras duplas [ ||u|| ] Então a magnitude desse vetor será igual à raiz quadrada de (5² mais (-6)²) e isso aqui será igual... Claro que a gente poderia pegar o valor absoluto de -6. Poderia colocar direto 6², já que quando a gente quer determinar a magnitude, ou seja, o módulo, a gente pode pegar o valor absoluto e jogar aqui direto nessa raiz quadrada que não vai ter problema. A gente vai chegar ao mesmo valor. Então teremos aqui a raiz quadrada de 5², que é 25, mais 6², que é 36. Então isso vai ser igual à raiz quadrada de 25 mais 36, que é 61. Conseguimos determinar aqui o módulo desse vetor "u". Será que o módulo do vetor "w" é igual ou diferente? Vamos fazer aqui, agora. O módulo do vetor "w" vai ser igual, novamente, à raiz quadrada das componentes elevada ao quadrado. A soma das componentes elevada ao quadrado. Então teremos (-5)², que é 5², que é igual a 25 mais (-6)², que é 6², que é igual a 36. Então isso vai ser igual à raiz quadrada de 25 mais 36, que é 61. Então tanto o vetor "u" quanto vetor "w" possuem a mesma magnitude, ou seja, possuem o mesmo módulo. Então, apesar desses vetores não serem equivalentes, eles têm a mesma magnitude, mas sentidos diferentes. Então podemos marcar essa opção aqui. Temos, agora, um outro exemplo bem similar. A gente também está querendo saber se o vetor "u" e o vetor "w" são equivalentes. Olhando aqui de cara, aparentemente eles são equivalentes já que possuem a mesma direção e aparentemente estão apontando para o mesmo sentido (aqui para a direita superior e aqui também para a direita superior). Mas para a gente ter certeza se esses dois vetores são de fato equivalentes, a gente pode observar em termos de suas componentes. Então, por exemplo, vamos pegar esse vetor "u" e traçar a componente na horizontal, no eixo x. Para a gente determinar essa componente, novamente a gente faz o Δx, ou seja, 4 menos -7 é igual a 3. A gente pode fazer o mesmo aqui no eixo y. Partir desse ponto e vir até aqui em cima. Essa componente y vai ser essa variação no eixo y, ou seja, 6 menos 1, que é 5. Vamos fazer o mesmo com esse vetor "w". A gente parte deste ponto e vem até aqui. Então nós temos essa componente x que vai ser igual a 5 menos 2, e 5 menos 2 é 3. Vamos fazer o mesmo no eixo y, ou seja, partindo deste ponto e vindo até esse outro ponto aqui em cima. Esse Δy vai ser igual a -2 menos -7, e isso é igual a 5. Já de cara e sem precisar utilizar o teorema de Pitágoras a gente já percebe que esse vetor tem as duas componentes iguais, tanto a componente x quanto a componente y. Então a magnitude desses dois vetores também vai ser a mesma. E como eles possuem as mesmas componentes, tanto o sentido quanto as direções desses vetores serão iguais. Então a gente pode, sim, dizer que esses vetores são equivalentes. A gente até pode representar esse vetor através de suas componentes. Isso é uma coisa que você vai ver um pouco mais no futuro, mas por exemplo esse vetor "u", a gente poderia representá-lo da seguinte maneira: a gente pode falar que ele possui essas duas componentes aqui, a componente 3 no eixo x e a componente 5 no eixo y. Esse vetor "u", que tem essas componentes, tem as mesmas componentes do vetor “w”. Então a gente poderia até dizer que esse vetor "w" também tem essas componentes. Então esses dois vetores possuem essas duas componentes, e por esse motivo eles são equivalentes. Então sempre que a gente tem dois vetores com as mesmas componentes, significa que eles vão ter a mesma direção, o mesmo sentido e a mesma magnitude, ou seja, o mesmo módulo. Então nesse caso a gente pode falar que esses dois vetores são equivalentes.