Equações paramétricas com o mesmo gráfico

RKA4JL - No último vídeo vimos como operar um pouco com a álgebra e eliminar o parâmetro t destas duas equações, chegando a esta equação que está escrita apenas em termos de x e y e fizemos uma representação gráfica dela, que seria esta elipse. Depois voltamos, analisando como observar os pontos em relação ao parâmetro t. Colocamos alguns valores para t, os correspondentes para x e y e localizamos na elipse. Vimos que quando t é zero, temos este ponto, quando o t é π sobre 2 temos este, depois quando t é π ele está sobre este. Pudemos verificar que o sentido do movimento sobre a trajetória determinada pela elipse está aqui, de acordo com estas setas. A pergunta é: ”Existe outro conjunto de equações paramétricas que levam a esta mesma equação sem envolver o parâmetro t?” Vamos começar analisando estas outras duas equações paramétricas: x igual a 3 cosseno de (2t) e y igual a 2 seno de (2t). Na primeira equação, x é igual a 3 cos(2t), eu vou dividir os dois lados por 3 e terei x sobre 3 igual a cos(2t). Da mesma maneira, aqui na segunda equação dividirei os dois lados por 2 e ficarei com y sobre 2 igual a sen(2t). Vamos nos lembrar, agora, daquela identidade importante que é sen²a mais cos²a é igual a 1 para todo "a" (veja que tem de ser o mesmo "a" aqui e aqui) nós temos uma situação que envolve cos(2t) e sen(2t). É a mesma expressão que aparece tanto para o cosseno quanto para o seno. Então, se eu trouxer isto para cá eu vou ter o seguinte: sen²(2t) mais cos²(2t) é igual a 1. Porém, sen(2t) é y sobre 2, então aqui eu estou falando de (y sobre 2)². mais... cos(2t) é x sobre 3, então aqui estamos falando de cos² (2t), ou seja, (x sobre 3)² é igual a 1. Eliminando os parênteses e trocando a ordem, ficamos com (x² sobre 9) mais (y² sobre 4) igual a 1. Esta equação é exatamente a mesma que nós tínhamos aqui para esta elipse. Porém, as equações paramétricas aqui eram diferentes daquelas que eu acabei de escrever aqui. Como é que podemos olhar para isso? Primeiramente, vamos lembrar que aquela equação dá exatamente a mesma elipse que nós tínhamos na situação anterior. Simplesmente copiei e colei aqui. Para facilitar, vou copiar e colar as equações paramétricas ao lado também. Vamos analisar o que acontece quando colocamos valores para t nestas novas equações paramétricas cuja representação gráfica já sabemos que é esta elipse. Vamos usar os mesmos valores de t que usamos anteriormente para ter uma comparação mais fácil. Vo usar zero, π sobre 2 e π. Quando t é zero. Colocamos zero no lugar do t. 2 vezes zero é zero, cosseno de zero é 1 vez 3 é 3. x vale 3. Para y agora. Coloque zero aqui. 2 vezes zero é zero, seno de zero é zero, vez 2, zero. Se for π sobre 2 no lugar do t. (π sobre 2) vezes 2 é π, porque você simplifica. cosseno de π é -1, vez 3, -3. Por outro lado, no y, 2 vezes π sobre 2 dá π, seno de π é zero, vez 2, zero. Vou usar π. No x, 2 vezes π é 2π, cosseno de 2π é 1, vez 3, 3 novamente. Para y, π vezes 2 é 2π, seno de 2π é zero, vez 2 é zero. Então, aqui na curva, vemos que quando t vale zero, o ponto que nós temos é 3 para x, zero para y, que é este mesmo que já estava aqui. Vou marcar de outra cor. Aqui. Depois, quando t vale π sobre 2, x é -3 e y é zero. x é -3 e y, zero. É este ponto aqui quando t vale π sobre 2. Quando t vale π, x é 3, y é zero e temos, agora, o mesmo ponto que nós tínhamos aqui quando t vale π. Novamente, observamos que o sentido do caminho é o mesmo do anterior. O sentido, nesse caso, anti-horário pela trajetória determinada pela elipse. Entretanto, nesta situação estamos caminhando duas vezes mais rápido pela elipse. Veja que de zero a π na anterior nós cumpríamos apenas meia volta da elipse. A outra meia volta viria continuando os valores de t. Nesta aqui, entre zero e π, nós percorremos a elipse inteira. Então, o parâmetro t, agora, está nos informando também, pelo fato de estar multiplicado por 2, de que nós estamos percorrendo mais rapidamente essa elipse. Veja, então, que as duas equações, ou melhor, os dois conjuntos de equações paramétricas, este e este, têm o mesmo formato na sua representação gráfica. Entretanto, ao introduzir ou analisar o parâmetro t, nós podemos verificar detalhes sobre o caminho que existe sobre esta forma que representa graficamente as equações. Observe aqui que quando t é zero, estávamos falando deste ponto. Quando t vale π sobre 2 estávamos falando deste ponto. Quando t vale π, aqui falávamos deste ponto, ou seja, aumentar em π sobre 2 o valor de t percorríamos ¼ da elipse. No outro caso, observando novamente quando t é zero, tínhamos este ponto já marcado. Quando t era π sobre 2, já estávamos aqui e quando t era π nós completávamos a volta, ou seja, ao aumentar π sobre 2 no valor de t nós demos meia volta na elipse. Mais meia volta aqui. Estamos, então, no novo exemplo, percorrendo a elipse duas vezes mais rápido que no exemplo anterior. Você percebe, então, que os dois conjuntos de equações paramétricas podem ser convertidos para esta mesma equação que envolve apenas x e y. Entretanto, ao converter, nós perdemos a informação implícita no parâmetro t que trata do caminho ao redor do formato do gráfico formado. Nós poderíamos, inclusive, inverter o sentido do caminho percorrido usando um sinal de “menos” no parâmetro t. Por exemplo, nesse primeiro conjunto, se eu escrever x igual a 3 cos -t e y igual a 2 sen -t nós vamos percorrer a elipse no sentido oposto. Eu sugiro que você tente brincar um pouco com isso e fazer algumas tentativas e agora uma pergunta importante, e acho que você responde com facilidade: Tendo o conjunto de equações paramétricas, eu consigo converter para esta. Entretanto, eu consigo fazer a volta? Ou seja, tendo esta equação posso escrever as equações paramétricas que deram origem a ela? Você pode pensar um pouco. E a resposta, claro, é não. Não, basta que você perceba que aqui nós temos dois conjuntos de equações paramétricas, ou melhor, três, contando com este novo que nos levam à mesma equação envolvendo apenas x e y. Então, não é possível fazer a volta. Nós não temos uma informação a respeito do parâmetro para poder transformar esta equação nas equações paramétricas correspondentes. De fato, qualquer equação com o formato x igual a 3 cosseno de algum número vezes t (não zero, lógico) e y igual a 2 vezes sen(at), sendo "a" um número real não nulo, Todas essas infinitas equações paramétricas levam àquela equação que vai dar, como representação gráfica, esta elipse. Porém, para saber detalhes sobre o movimento, sobre ela, precisamos olhar para o parâmetro t. Para analisar um pouco mais, vamos olhar para uma outra equação, entre aspas, “normal”. Vamos considerar aqui a equação y igual a x² mais x. Queremos escrever equações paramétricas que podem ser convertidas nela. Teremos infinitas equações paramétricas e isso é fácil de observar. Por exemplo, já que o y está escrito em termos de x, vamos determinar que o x seja, por exemplo, igual a cos(t) menos o logaritmo natural de t. Sendo x igual a cos(t) menos ℓn(t), trocando x por esta expressão aqui nós teríamos, voltando para y, nós teríamos y igual a (cos(t) menos ℓn(t))², que era x², mais x, que é (cos(t) menos ℓn(t)). Pronto. Temos aqui um par de equações paramétricas que se convertem àquela que está acima. Eu poderia fazer um outro exemplo e colocar x igual a t. Se x é igual a t, y igual a t² mais t, só reescrevi aquela [equação], trocando x pelo t. Seriam infinitas possibilidades. Graficamente, tanto para este par de equações paramétricas quanto para este, nós teríamos o mesmo formato, que seria uma parábola. Entretanto, o que mudaria bastante de uma para outra é a forma como aconteceria o deslocamento pela forma daquela parábola. A diferença entre elas é como você se movimenta ao longo da, neste caso, parábola que se forma. Poderíamos ter uma situação também em que é dado um certo formato de representação gráfica, uma certa representação gráfica, e sobre ela, nós só saberíamos como é feito o caminho, nesse caso uma circunferência, se é feito um caminho no sentido horário ou no sentido anti-horário e com qual, entre aspas, velocidade, etc., se nós tivermos a informação dada pelo parâmetro. Esta representação gráfica de uma certa circunferência tem uma certa equação que não fornece a informação dada pelo parâmetro. Por hora é isso. Vamos continuar esse estudo. Até o próximo vídeo!