Remover o parâmetro de equações paramétricas

RKA4JL - No último vídeo olhamos para algumas equações paramétricas que eram definidas por x em função do tempo (t era o parâmetro) igual a 10 mais 5t e o y também variando em função do tempo de acordo com y igual a 50 menos 5t². Fizemos também o gráfico. Vamos rapidamente reproduzi-lo aqui. Estou colocando os eixos. Aqui seria o eixo x e aqui o eixo y, e nós verificamos que quando t era zero, nós tínhamos o x valendo 10 e y valendo 50, que dava um ponto aqui, por exemplo. Quando x era 1, nós obtínhamos outro ponto e vimos que temos uma parte de uma meia parábola. Marcando os pontos aqui, quando t é 1, temos os valores de x e y, e quando t é 2, quando t é 3, e o carro caindo no precipício. Mas essas duas equações não representam apenas esse trecho de semi parábola: permitem plotar a parábola inteira. Veja só: quando t é zero, nós tínhamos este ponto aqui. Quando t for, por exemplo, -1, para x nós vamos ter -5 mais 10, 5 e para o y, -1² é 1, vez 5, 5 50 menos 5, 45. De maneira que eu teria um ponto em que x é 5 e y é 45. Se t for -2, -2 vezes 5 dá -10, mais 10, zero. x seria zero. E y, -2² é 4 vezes 5, 20 e 50 menos 20 é 30. Ele estaria na mesma altura desse aqui. Teríamos este ponto aqui, e assim por diante. E nós teríamos aqui a outra parte da parábola, dada a simetria que temos aqui e a curva teria este aspecto. Claro, ela deveria ser uma linha cheia porque temos infinitos valores ali em R. Com essas informações, nós sabemos que a direção e o sentido pelo qual essa curva é percorrida, conforme o valor de t aumenta, é esta aqui, daqui para lá. Conforme t aumenta, nós vamos percorrendo esta curva, neste sentido. No nosso último exemplo, o caminho mostrado era um subconjunto do caminho definido por essas equações paramétricas. Você deve se lembrar de que consideramos t igual a zero no momento em que o carro começa a cair no precipício. O tempo não pode voltar, não podemos ter valor negativo para o tempo. E quando o automóvel terminar sua queda, temos o tempo, o valor máximo do tempo permitido para esses subconjuntos que estávamos analisando naquele outro exemplo. Essas observações são muito importantes porque, frequentemente, nós precisamos, ou nós vamos analisar, que um caminho é válido para algumas equações paramétricas apenas para certos valores do parâmetro t. Para o exemplo anterior, nós tínhamos a situação inicial quando t era igual a zero, o limite, digamos assim, o primeiro limite aqui é quando t vale zero e o carro começa a cair e o limite final vai ser quando o carro terminar de cair. Existe para isso um certo valor de t aqui para o qual nós ainda não olhamos. Então essas equações eram válidas naquela situação para t maior que, ou igual a zero. e menor que, ou igual a um certo valor, que é justamente o que nós precisamos estudar aqui. E a pergunta é, justamente, qual é o valor de t quando o carro atinge o chão? Qual é o valor de t que faz com que y seja zero? Qual é o valor de t que faz y ser zero. Para isso, nós vamos tomar, novamente, a equação que define y, esta aqui. E no lugar do y vamos colocar zero. Ficaria zero igual a 50 menos 5t². Dividindo os dois lados por 5, ficaríamos com zero igual a 10 menos t². Arrumando aqui, -t² vem para cá e fica t² igual a 10. Então, resolvendo a equação, t pode ser mais a raiz quadrada de 10 ou menos a raiz quadrada de 10. Neste caso, estamos falando de valores não negativos para t, então nós vamos considerar apenas o valor de +√10 para t. t valeria √10 para que o carro atingisse o chão e √10 é aproximadamente 3,16. Quer dizer que 3,16 segundos após o início da queda ele atinge o chão. Você pode observar, naturalmente, que aqui teríamos um ponto no qual o t é -√10. Agora, naturalmente não existe ali, naquela situação do carro, o tempo negativo. Não há volta no tempo. E ele vem, na verdade, sendo conduzido por um platô na direção horizontal, no sentido da esquerda para a direita, e quando chegar nesse ponto, ele começará a queda. Então naquele problema nós precisamos definir os limites para os quais ele é válido. E nesse caso os limites são t igual a zero até t igual √10. Então, para aquela situação o t está entre zero e √10. Vamos agora abstrair um pouco e desconsiderar os limites daquele problema. A pergunta que fica agora é: Nós conseguiremos escrever y em função de x ou x em função de y como nós estamos habituados a fazer, como quando nós temos x e y variando de maneira relacionada? Vamos tentar. Eu reescrevi aqui as duas equações. Vamos olhar um pouquinho para elas. Se você observar, isto lembra o sistema de equações com mais de uma incógnita. E a ideia é isolar t em uma delas e substituir na outra. Por exemplo, nesta aqui que temos uma situação um pouco mais simples, vamos isolar o t aqui. Se isolar o t, o que eu deveria fazer? O 10 para lá fica x menos 10 e depois, dividindo tudo por 5, eu teria t igual a x sobre 5, menos (lembre-se do 10 que foi para lá), então -10 dividido por 5 é 2, ou seja, escrever, nesta situação, escrever t é a mesma coisa que escrever x sobre 5 menos 2. Nós vamos tomar este (x sobre 5) menos 2, que é a mesma coisa que t, e escrever no lugar do t na outra equação. Vamos reescrevê-la para ver como fica. y igual a 50 menos 5 vezes t². t, agora, é tudo aquilo ao quadrado. No lugar do t vou colocar (x sobre 5) menos 2. Observe: já conseguimos y escrito em função de x, somente. Não há mais o t. Vamos simplificar um pouco essa expressão. y igual a 50 menos 5 vezes... Vamos resolver essa potência, lembrando que é um quadrado da diferença de dois termos. Eu devo lembrar que o resultado é o quadrado do primeiro, x² sobre 25, menos duas vezes o primeiro, que é (x sobre 5), vezes o segundo, que é 2, mais o quadrado do segundo, que é 2², 4. Vamos distribuir para eliminar os parênteses aqui. Na hora que eu fizer -5 vezes esta fração, 5 vai simplificar com 25. Então eu vou ter -x² sobre 5. 5 e 25 dividem por 5. Aqui, “menos” com “menos” vira “mais” e este 5 vai cancelar com este 5, então teremos somente 4x... -5 vezes mais 4, -20. E finalmente arrumando, ficaria y igual (-x² sobre 5) mais 4x e 50 menos 20 fica 30. Desta maneira, escrevemos y em função de x. Observe que não estamos mais utilizando aquele terceiro parâmetro, que era t. Não está sendo necessário, ele pode ser suprimido. Você deve perguntar: ”Então por que nós não fazemos sempre assim, se é muito mais simples?” Atenção: não é, necessariamente, muito mais simples. Pode parecer mais simples porque temos apenas y e x, mas a compreensão disso pode ficar complicada. E uma informação muito importante é a seguinte: você pode fazer o gráfico desta nova equação que vai dar aquela parábola que nós já andamos estudando sem a necessidade de duas equações e de um terceiro parâmetro, que era t. Isso é verdade, mas isso só nos dá o formato da curva. Isto suprime a informação escondida, entre aspas, no t. Ou seja, apenas com essa informação nós não sabemos a direção e o sentido em que o movimento acontece por aquela curva dada. Com t, analisando t, nós sabemos que nos valores crescentes de t nós percorremos esta curva. O carro percorria esta curva nessa direção e neste sentido. Sem t nós não temos essa informação e não temos outra informação. Quando nós tínhamos o t, eu poderia perguntar: ”Quando t é 2,7 segundos, qual é a posição do carro?” Seria perfeitamente possível calcular usando as duas equações. Aqui, porém, eu posso perguntar: "Quando t vale 2,7 segundos, onde o carro está?" Com esta informação apenas, nós não podemos dizer. Aqui, neste momento, o importante é você estar convencido de que é possível suprimir uma das equações, ou seja, de duas equações, escrever apenas uma e saber o formato da curva que estamos tratando. Entretanto, nós perdemos a informação que temos no parâmetro t com relação ao sentido e direção em que nós estamos nos deslocando pela curva e também em relação a saber que, quando t é igual a 1, o móvel está neste ponto, quando t é igual a 2, está neste ponto, quando t é igual a 3, está neste ponto, quando é √10, ele está exatamente aqui As equações paramétricas, portanto, são muito úteis nesse sentido. Nosso estudo continua. Até o próximo vídeo!