Matrizes vistas como transformações

Pensar nas matrizes como transformações do espaço pode levar a uma melhor compreensão das operações matriciais. Esse ponto de vista ajuda a explicar como definimos operações matriciais como a multiplicação e nos dá uma boa desculpa para desenhar algumas figuras. Esse material aborda a álgebra linear (geralmente, um tópico do ensino superior).

Inicialmente, a ideia de uma "transformação" pode parecer mais complicada do que realmente é; então, antes de nos aprofundarmos no modo como matrizes $2\times 2$‍ se transformam em um espaço bidimensional, ou como matrizes $3\times 3$‍ se transformam em um espaço tridimensional, vamos ver como os bons e velhos números simples (também conhecidos como matrizes $1\times 1$‍) podem ser considerados transformações de espaço unidimensional.

O "espaço unidimensional" é simplesmente uma reta numérica.

O que acontece quando você multiplica todos os números da reta por um valor específico, como $2$‍ por exemplo? Uma maneira de ver isso é assim:

Mantemos uma cópia da reta original para servir de referência e, em seguida, arrastamos cada um dos números da reta para a posição que é $2$‍ vezes aquele número.

Da mesma forma, a multiplicação por ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ poderia ser vista assim:

E, para que os números negativos não se sintam negligenciados, temos aqui a multiplicação por $-3$‍:

Para aqueles que gostam de terminologia sofisticada, essas ações animadas podem ser descritas como "transformações lineares de espaço unidimensional". A palavra "transformação" significa o mesmo que "função": algo que insere um número e produz um número, como $f(x)=2x$‍. No entanto, enquanto normalmente vemos funções com seus gráficos, as pessoas tendem a usar a palavra "transformação" para indicar que, ao invés disso, você deve visualizar algum objeto em movimento, se estendendo, encolhendo, etc. Então, a função $f(x)=2x$‍ vista como uma transformação resulta no vídeo "Multiplicação por $2$‍" mostrado acima. Ela move o ponto $1$‍ na reta numérica para onde inicialmente estava o $2$‍, move o $2$‍ para onde inicialmente estava o $4$‍, etc.

Antes de prosseguirmos para o espaço bidimensional, há um fato simples, mas importante, que devemos manter em mente. Suponha que você veja uma dessas transformações, sabendo que ela é uma multiplicação por algum número, mas sem saber qual número é esse, assim:

Você pode descobrir qual número está sendo multiplicado na reta por $\text{seguindo }1$‍. Nesse caso, $1$‍ ficará onde $-3$‍ começou, então é possível afirmar que a animação representa uma multiplicação por $-3$‍.

Uma transformação linear bidimensional é um tipo especial de função que insere um vetor bidimensional $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ e resulta em outro vetor bidimensional. Assim como anteriormente, nosso uso da palavra "transformação" indica que devemos pensar em algo como contraindo alguma coisa, o que neste caso é o espaço bidimensional. Aqui estão alguns exemplos:

Para nossos propósitos, o que faz com que uma transformação seja considerada linear é a seguinte regra geométrica: a origem deve permanecer fixa e todas as retas devem permanecer retas. Então, todas as transformações na animação acima são exemplos de transformação linear, mas as transformações a seguir não são:

Imagine que você está assistindo a uma transformação em particular, como esta

Como você poderia descrever isso a um amigo que não estivesse vendo a essa mesma animação? Você já não pode descrevê-la usando um único número; pode apenas seguir o número $1$‍ no caso unidimensional. Para ajudar a manter o controle de tudo, vamos colocar uma seta verde sobre o vetor $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍, uma seta vermelha sobre o vetor $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍, e colocar uma cópia da grade no fundo.

Agora fica muito mais fácil ver onde as coisas vão ficar. Por exemplo, se assistirmos à animação novamente, e focarmos no vetor $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍, poderemos segui-lo mais facilmente de modo a ver que ele vai parar no vetor $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍.

Podemos representar este fato com a notação a seguir:

Observe que, um vetor como $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍, que se inicia como $2$‍ vezes a seta verde, continua a ser $2$‍ vezes a reta verde depois da transformação. Como a reta verde está em $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍, podemos deduzir que

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍.

E, em geral,

Da mesma forma, o destino do eixo $y$‍ inteiro é determinado por onde a seta vermelha $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vai parar; que, para esta transformação, é $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍.

Na verdade, como sabemos onde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ e $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vão parar, podemos deduzir onde todos os pontos no plano devem ir. Por exemplo, vamos seguir o ponto $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ em nossa animação:

Ele se inicia em $-1$‍ vezes a seta verde mais $2$‍ vezes a seta vermelha, mas também termina em $-1$‍ vezes a seta verde mais $2$‍ vezes a seta vermelha, o que, após a transformação, significa

Essa capacidade de dividir um vetor em função de seus componentes tanto antes quanto depois da transformação é o que há de tão especial nas transformações lineares.

Em geral, como cada vetor $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ pode ser quebrado em

Se a seta verde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ vai para algum vetor $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍, e a seta vermelha $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vai para em algum vetor $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍, então o vetor $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ deve ficar em

Uma forma muito boa de se descrever tudo isso é representando uma determinada transformação linear com a matriz

na qual a primeira coluna nos indica onde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ vai parar e a segunda coluna nos indica onde $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vai parar. Agora, podemos descrever muito resumidamente onde qualquer vetor $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vai parar como o produto matriz-vetor

Na verdade, é daí que vem a definição de um produto matriz-vetor.

Assim, da mesma forma que transformações lineares unidimensionais podem ser descritas como uma multiplicação por algum número, ou seja, por qualquer número em que o $1$‍ apareça em cima, transformações lineares bidimensionais sempre podem ser descritas por uma matriz $2\times 2$‍, ou seja, por aquela cuja primeira coluna indica onde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ vai parar, e cuja segunda coluna indica onde $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vai parar.