Divisão de funções

RKA - “f(x) = 2x² + 15x - 8”. “g(x) = x² + 10x + 16”. Ache “(f/g)(x)”, ou você pode interpretar como "f dividido por g de (x)". Então, baseado na forma que acabei de enunciar, você tem uma ideia do que quer dizer. “(f/g)(x)” ou “f dividido por g de (x)”, por definição, é só outra forma de escrever f(x) dividido por g(x). Você pode ler isso como uma função. A função de “x” definida pela divisão de f(x) por g(x), criando uma expressão racional onde f(x) é o numerador, e g(x), o denominador. Isso vai ser igual a f(x), que está aqui em cima e é "2x² + 15x - 8”, e g(x)... vou escrever em azul... está bem aqui... g(x)... tudo isso sobre g(x), que é "x² + 10x + 16”. E você pode deixar assim, ou tentar simplificar um pouco. O jeito mais simples de simplificar é verificar se consegue fatorar as expressões que são o numerador e denominador em expressões mais simples. Talvez o numerador e o denominador sejam divisíveis pela mesma expressão. Então, vamos tentar fatorar cada uma delas. Primeiro, é bom tentar com o numerador. Vou fazer isso aqui em cima. Não, melhor aqui embaixo. É “2x² + 15x - 8”; tem uma expressão quadrática, onde o coeficiente não é 1. Então, uma técnica que pode usar é fatoração por agrupamento ou pode usar a fórmula de Bhaskara; e, quando se fatora por agrupamento, tem que dividir essa expressão: "15x". E tem que dividir em duas expressões onde estariam se multiplicando e, se fosse multiplicar os coeficientes, o produto deles deveria ser igual à multiplicação da primeira e da segunda expressões. Isso foi provado em outros vídeos. Basicamente, queremos achar os números que somados resultam em 15, mas cujo produto daria -16. Essa é a técnica de fatoração por agrupamento. É só uma tentativa de simplificar aqui. Quais são os dois números que, se eu multiplicar, daria -16, mas somados daria 15? Se estou multiplicando e chegando num número negativo, significa que eles têm que ter sinais opostos, então, se um deles é positivo, o outro terá que ser negativo, o que quer dizer que um deles terá que ser maior do que 15 e o outro menor do que 15. E os mais óbvios desses serão 16 e -1. Se eu multiplico esses, eu definitivamente chego em -16 e somados dão 15. Então, como faremos para dividir isso? Dá para escrever a expressão como "2x² + 16x - 8”. Simplesmente, peguei essa expressão do meio e, usando essa técnica, eu dividi em "16x - x", que, claramente, ainda é "15x". Agora, por que isso é útil? E esse é o motivo de chamar de fatoração por agrupamento. A gente pode checar e ver se há fatores em comum nessas duas primeiras expressões. Bom, os "2x²" e "16x" são divisíveis por "2x", então, pode fatorar "2x" dessas duas primeiras expressões. Isso é igual a "2x ‧ (x + 8)”... 16 dividido por 2 é 8... "x" dividido por "x" é 1, então, é "2x ‧ (x + 8)”. Aquelas duas expressões aqui, essa é a base da fatoração por agrupamento e dá para fatorar o -1 deles; é igual a "-1 ‧ (x + 8)”. E o mais legal é que agora tem duas expressões que têm “(x + 8)” nelas. Dá para fatorar “(x + 8)”; e, se a gente fatorar “(x + 8)” delas, sobra “(2x - 1)” (com parênteses em volta), vezes a expressão fatorada “(x + 8)”. O numerador está simplificado, podemos reescrever o numerador e seria possível chegar nisso pela fórmula de Bhaskara também. O número é “(2x - 1) ‧ (x + 8)”. Agora, vamos ver se conseguimos fatorar o denominador também. Esse é mais simples, o coeficiente é 1. Só tem que pensar em dois números que multiplicados dão 16 e somados dão 10. Os óbvios são +8 e +2. Daí, escreve como "(x + 2) ‧ (x + 8)”. Agora dá para fazer a simplificação. Podemos dividir o numerador e o denominador por “(x + 8)”. Assumindo que "x" não seja igual a -8, porque essa função é definida por "f" dividido por "g". Ela não é definida se “g(x) = 0”, porque senão teria algo dividido por zero, e as únicas vezes que g(x) é igual a zero é quando "x = -2" ou quando "x = -8". Se dividimos o numerador e o denominador por “(x + 8)”, para simplificar (não para mudar a definição da função), ainda temos assim que estabelecer que "x" não pode ser igual a -8; que a função original, se não queremos mudá-la... porque, se eu cancelasse essas duas coisas, a nova função com esses dois cancelados seria definida para "x = -8", mas queremos a versão simplificada da mesma função, e essa função exatamente não é definida quando "x = -8". Agora, dá para escrever “(f/g)(x)”, que é simplesmente f(x) dividido por g(x), é igual a “(2x - 1)/(x + 2)”, você tem que colocar a condição que "x" não pode ser igual a -8. Sem essa condição, essa função não vai ser exatamente a mesma que esta, pois ela não é definida para "x = -8".