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Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 11
Lição 30: Gráficos de funções logarítmicas (Álgebra nível 2)Forma do gráfico de uma função logarítmica da mesma família
Google Sala de AulaNeste vídeo, construímos o gráfico de y=log₅(x). Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.
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No começo do vídeo é explicado que o gráfico será da função logaritma y=log5 x, mas o gráfico é baseado na função exponencial que se forma depois. Elas não seriam inversas?(3 votos)
O gráfico está em logaritmo, a função logaritmo é inversa por isso o 5 esta elevado a y e não a x. A função exponencial é um numero elevado a x enquanto logarítmica é um numero elevado a y. Isso eu usei como exemplo. outro exemplo seria... Precisamos descobrir o valor de F(x) sabendo que F(x) = y e y = 5^x, nesse caso a variável independente é x, Mas queremos a inversa dessa função, então pegamos ela e trocamos as incógnitas, ficando, x = 5^y isso é a inversa da que vimos acima, todavia continua sendo uma função exponencial onde fica onde temos uma expressão em função de y, como queremos trabalhar com y sendo a variável dependente isolamos ela, ficando y = log de x na base 5, o gráfico montado foi feito com cara de exponencial, mas sendo que com um caráter do logaritmo, tudo relativo ao modo como a expressão é vista. então 5^y = x não é uma função exponencial f(x), mas um exponencial f(y) que é a inversa de f(x). que levando em conta que F(x) é exponencial e que f(y) é inversa a f(x), então temos f(y) = f(x)= log de x na base 5.(4 votos)
Transcrição de vídeo
RKA - Pedem que a gente faça um gráfico
de y é igual log na base 5 de x, e para lembrar que y é igual à potência
a qual devo elevar 5 para obter x. Ou se fosse escrever esta equação logarítmica
como uma equação exponencial, 5, a minha base y, que é o expoente
ao qual devo elevar a minha base, e x, o que obtenho quando elevo 5 à potência y. Outra forma de escrever essa equação é: 5 à potência y será igual a x, que é a mesma coisa, tem y como uma função de x. Aqui tem x como uma função de y. Mas eles estão dizendo exatamente a mesma coisa. Eleve 5 à potência y para obter x. Quando escreve como um logaritmo, está dizendo: a qual potência devo elevar 5 para alcançar x? Teremos que levar a y. O que consigo é elevar 5 à potência y,
obtenho x. E resolvido isso, vamos fazer uma tabelinha
que dá para usar para marcar e ligar alguns pontos para ver como fica esta curva. Então, vamos escolher alguns x e alguns y. Em geral, vamos escolher alguns números que nos darão respostas redondas, com números bem simples com os quais trabalharemos
para não precisar pegar a calculadora. Você vai escolher valores para x
onde a potência a qual terá que elevar 5 para alcançar o valor x é mesmo bem simples. Outra forma de pensar é considerar
apenas os diferentes valores de y das quais quer elevar, e terá seus valores para x. Realmente poderia pensar para ter, de fato,
nossos reais valores de x, mas queremos que fique claro ao expressar que
a variável independente é x e a variável dependente é y. Podemos apenas dar uma olhada neste
para escolher alguns x bonitinhos que vão nos dar respostas limpas para y. Aqui, eu vou realmente preencher o y primeiro,
para termos os x bem limpinhos. Digamos que vamos elevar 5 a... Vou escolher algumas cores. - 2... potência - 2. E vou usar outras cores. - 1, 0, 1. Vou fazer mais um. E então 2. Mais uma vez, a variável dependente. Mas a forma como escrevemos, na verdade,
deu a variável dependente, e ficou fácil descobrir o que é a variável independente precisa ser para esta função logarítmica. Qual x me dá um y de -2? O que x me dá? O que x tem que ser para y ser igual a - 2? 5⁻² será igual a x. 5⁻² é 1 sobre 25. A gente tem 1/25. Se voltar a esse anterior, se disser que log na base 5 de 1/25, a qual potência devo elevar 5 para obter 1/25? A gente vai ter que elevar à potência - 2, ou poderia dizer 5⁻² é igual a 1/25,
que é a mesma coisa. Agora vamos fazer outra. O que acontece quando elevo 5⁻¹? Obtenho 1/5. E se for a original,
estamos apenas dizendo que log na base 5 de 1/5... Tenha cuidado! Isso está dizendo a qual potência
devo elevar 5 para obter 1/5. Teremos que elevar à potência de -1. O que acontece quando elevo 5⁰? Terei 1. Essa relação é o mesmo
que dizer log na base 5 de 1. A qual a potência devo elevar 5 para chegar a 1? Tenho apenas que elevá-lo potência zero. Vamos fazer os dois seguintes. O que acontece quando elevo 5¹? Vou ter 5. Então, se olhar, estamos apenas dizendo: log... A que potência devo elevar 5 para obter 5? Teremos que elevar a 1ª potência. Finalmente, se eu pegar 5² terei 25. Então, se olhar do ponto de vista logarítmico, vai falar: a qual potência devo elevar 5 para obter 25? Teremos que elevar a 2ª potência. Eu peguei o inverso da função logarítmica, escrevi como se fosse uma função exponencial, inverti as variáveis dependente e independente, para poder usar x bem limpinhos
que me darão y bem limpinhos. Com isto resolvido, quero lembrar
que poderia ter escolhido números ao acaso. Mas aí os números provavelmente não seriam
tão limpinhos, e teria que usar uma calculadora. A única razão pela qual fiz isso foi para ter
resultados limpinhos que poderia marcar a mão. Então, vamos fazer o gráfico. Vamos fazer o gráfico. Os y vão entre -2 e 2, os x vão de 1/25 até 25. Vamos fazer o gráfico. Este é meu eixo y, e este é o eixo x. Faça o traçado assim, este é meu eixo x,
e então os y começam em zero. Teremos 1, 2 e -1, -2. E no eixo x, é tudo positivo. Vou deixar vocês pensarem
sobre se o domínio aqui é... Quando pensar nisso, se for uma função logarítmica definida para um x que não é positivo, existe alguma potência a qual
posso elevar 5 para obter zero? Não. Poderia elevar 5
a uma potência negativa infinita para chegar a um número muito, muito, muito pequeno que se aproxima a zero, mas nunca poderá chegar a zero. Não há potência para a qual
poderia elevar 5 para chegar a zero. x não pode ser zero, e não há potência a qual
pudesse elevar 5 para obter outro número negativo. x também não pode ser um número negativo,
então o domínio dessa função é relevante, pois queremos pensar
sobre o que estamos mapeando. O domínio é x, tem que ser maior que zero. Tem que ser maior que zero,
então a gente só marca esta função no eixo x positivo. E, com isso resolvido,
x pode ser até 25. Vou marcar. Colocamos esses pontos. 5, 10, 15, 20 e 25. E vamos marcar. O primeiro será em azul,
quando x é 1/25 e y é -2. Quando x é 1/25, e 1 é aqui. 1/25, vai ter que ser,
de fato, próximo disso, então y é - 2. Então, será logo aqui quase no eixo y. Estamos 1/25 à direita do eixo y. Mas bem perto. Então, isso é bem aqui. Isto é 1/25 e - 2. Quando x é 1/5, que é um pouco mais à direita,
y é - 1, então isto é 1/5 e - 1. Quando x é 1, y é zero. Então, 1 pode estar bem aqui, esse ponto é 1 e zero. E quando x é 5, y é 1. Cobri desse lado, quando é 5, y é 1.
Esse é o ponto 5 e 1. Quando x é 25, y é 2. Então, é 25 e 2. E posso fazer o gráfico da função. Enquanto x vai ficando
super, super, super, super, super pequeno, y vai à infinidade negativa. Fica realmente pequeno para chegar a x. Ou enquanto x fica... Se você diz: a qual potência
tenho que elevar 5 para chegar a 0,0001? Terá que ser uma potência muito, muito negativa, y será muito negativo conforme nos aproximamos
de zero, então ele meio que se move para cima assim e começa a fazer um tipo de curva para a direita,
desse jeito. Isso vai continuar descendo num nível cada vez mais íngreme, e ele nunca vai realmente tocar o eixo y. Vai se aproximar cada vez mais do eixo y, Mas nunca de fato vai tocá-lo. Até o próximo vídeo.