Representação de uma reta tangente a uma hipérbole

RKA3MP - Após fazer um montão desses exames de admissão aos institutos indianos de tecnologia, eu percebi que, em um monte desses problemas, eles realmente só esperam que você saiba alguma coisa. E é isso que eu vou cobrir nesse vídeo, ou seja, uma das coisas que eles apenas esperam que você saiba. E uma das coisas que eles querem saber, por exemplo, são as relações entre as sessões cônicas e uma linha tangente, nesse caso aqui vamos abordar especificamente uma hipérbole. Nós já abordamos isso em um problema anterior, mas não estava na forma genérica. Então, vamos supor que a gente tem uma hipérbole aberta para a esquerda e para a direita. Então, nós teríamos a equação x² sobre a² menos y² sobre b² = 1. E se eu fosse desenhar, por exemplo, essa hipérbole, eu teria aqui o meu eixo "x", aqui o meu eixo do "y", e ela seria aberta para a direita, assim, e também para a esquerda, assim. Só para o caso de você estar curioso, esse ponto aqui, que está no y = 0, é o ponto (a, 0) e esse ponto aqui é o ponto (-a, 0). E, aqui, o que eu quero saber é uma relação entre esses "a" e esses "b" com a equação da reta tangente. Então, vamos desenhar aqui uma reta tangente, digamos, nesse ponto aqui. Ela seria algo parecido com isso aqui, ela apenas toca naquele ponto, certo? Vamos dizer então que a equação para essa reta tangente seja y = mx, onde esse "m" aqui é a inclinação da reta, mais, ao invés de dizer "b", já que estou colocando "b" aqui né, a gente normalmente chama esse ponto aqui onde a reta corta o eixo do "y" de "b", mas, como a gente já nomeou esse termo aqui de "b", eu vou usar, para esse caso aqui, o "c". Portanto esse "c" aqui, que é um pouco não convencional, ele vai ser o ponto onde a reta corta o eixo do "y", certo? Agora vamos tentar descobrir uma relação entre esse "m", esse "c", os "a" e os "b". O que eu vou fazer nesse vídeo aqui eu já fiz em outros desse "ITT-JEE", desses exames indianos como eles são conhecidos, mas, como você está acostumado com os vídeos aqui da Khan Academy, eu não gosto simplesmente de jogar a fórmula, de ficar memorizando. Eu gosto de provar, porque senão você não vai saber de onde essa fórmula veio. Aí, de repente, você pode memorizar a fórmula errado e não vai entender profundamente o que aquela fórmula significa. Só que, para esse exames do "ITT-JEE", eu recomendo que você acabe memorizando, porque é pouquíssimo tempo que tem para fazer, então, se você ficar provando toda hora você vai ter pouco tempo. Agora, deixa eu parar de falar e vamos fazer essa relação aí, e vamos voltar a desenhar. Bom, o que eu quero saber é esse ponto aqui onde essa reta tangente intercepta essa hipérbole. E o importante é saber que eles apenas se intersectam em um único ponto. O que eu vou começar fazendo aqui é resolver essa equação em função do "y". Para isso, vamos começar multiplicando os dois lados dessa equação aqui por "-b²". E, aí, a gente vai ter "-b²" sobre "a²", multiplicado por "x²" mais "y²", já que, como multipliquei por "-b²", menos vezes menos vai dar mais, e o "b²" simplifica com o "b²", tudo isso é igual a "-b²". Agora, eu vou somar em ambos os lados da equação por esse termo aqui. E aí, eu vou ter o quê? Que "y²" vai ser igual a "b²" sobre "a²" que multiplica "x²" menos "b²". E, com isso aqui, apenas reescrevi essa equação da hipérbole. E o que podemos fazer agora é reescrever essa outra equação aqui em termos de "y²", E, aí, depois, como a gente vai ter "y²" igual a alguma coisa e "y²" igual a alguma coisa, nós podemos igualar ambas as equações. Portanto, nessa equação aqui, se eu elevar ao quadrado em ambos os lados da equação, eu vou termo que y² = m² · x², mais duas vezes o primeiro termo, que é "mx", vezes o segundo termo que é "c", lembrando que esse aqui é o quadrado da soma, mais o quadrado do segundo termo, que vai ficar "c²". E aí, para a tangente interceptar a hipérbole, esses dois termos aqui têm que ser iguais, essas duas equações, sim ou não? Portanto, vou igualar os "y" ao quadrado e depois resolver para encontrar o valor do "x". É claro que a gente não vai encontrar exatamente o valor do "x", mas o que a gente quer é apenas uma relação entre essas letras todas, ou seja, esse "a", esse "b", esse "m" e esse "c". Portanto, como a gente sabe, tem apenas um ponto onde eles se interceptam, logo esse ponto aqui é o ponto por onde passa a reta tangente. Agora, igualando as duas equações, nós vamos ter m²x² + 2mcx, eu apenas reescrevi isso aqui, mais c² = b²/a² multiplicado por x², menos b². Eu já fiz algo similar a isso aqui em um outro vídeo do "ITT-JEE", mas não era um caso tão geral assim. Então, vou resolver isso daqui porque a gente tem mais uma coisa para adicionar ao nosso kit de ferramentas. Bem, agora, como eu quero isolar o "x", eu vou subtrair em ambos os lados por isso daqui. Então, eu vou ter, já colocamos "x" em evidência, m² - b²/a² tudo isso multiplicado por "x², sim ou não? O que eu fiz foi agrupar esse termo aqui e esse termo aqui. Agora, o meu único termo onde aparece o "x" elevado à potência 1 é esse aqui, portanto, mais "2mc" multiplicado por "x", que eu botei em amarelo. E, finalmente, eu vou ter mais "c²" e, quando eu somar ambos os lados por "b²", eu vou ter mais "b²" desse lado, tudo isso é igual a zero. Agora, perceba! Para que eu tenha apenas um único ponto resolvendo essa equação quadrática aqui, eu preciso que o discriminante da equação seja igual a zero, olha só. Você lembra como é que calcula o discriminante? Vai ser "-b", no caso, para calcular as raízes da equação, mais ou menos a raiz quadrada de b² - 4ac, tudo isso dividido por "2a". E, relembrando, você só vai ter uma única solução para aquela equação se isso aqui que está dentro da raiz quadrada for igual a zero. E, se isso aqui for igual a zero, o discriminante, nós vamos ter a única solução que vai ser -b/2a. E, no caso da reta tangente, eu preciso apenas de um único ponto, portanto eu quero uma única solução para essa equação quadrática. Então vamos lá, aqui o nosso "b" vai ser esse termo que acompanha o "x¹". E, portanto, a gente vai ter aqui o "b²". Então, eu vou ter 4m²c² menos 4, que é da fórmula, multiplicado pelo "a", e o "a" é todo esse negócio aqui. Para facilitar as coisas, eu vou multiplicar esse "a" por "-1", então aqui vai virar um +4 que vai multiplicar por quanto? Pelo inverso do sinal que está aqui dentro. Então, b²/a² - m². E agora eu preciso multiplicar por "c", e o "c" é esse termo aqui que não tem "x". Então, multiplicado por "c²" mais "b²". E, como eu quero apenas uma solução, eu tenho que igualar isso daqui a zero. E, agora, para simplificar um pouquinho o que a gente tem aqui, eu vou dividir ambos os lados dessa equação por 4. E, aí, eu vou ter esse 4 que vai dar igual a 1, então a gente pode ignorar, e esse 4 também a gente pode ignorar pois vai dar igual a 1, estou dividindo tudo por 4. E, assim, a gente simplificou bastante a nossa equação. E agora vamos multiplicar isso daqui: b²/a², vezes c² vai dar b²c²/a², Mais, quando eu multiplicar esse b²/a² por "b²", eu vou ter "b" elevado a 4 sobre "a²". Agora, eu tenho -m² · c² isso vai dar -m²c², e -m² · b², -m² vezes b², e é claro que tudo isso vai ser igual a zero. E não podemos esquecer que na frente tem o m²c², certo? Para facilitar nossa vida, isso aqui vai simplificar com isso aqui. E agora, com o que a gente vai ficar? Bom, estou percebendo que todos os termos que restaram são divisíveis "b²", então vou dividir tudo por "b²". E aí esse termo aqui b² vai sumir, vai ficar apenas 1, esse "b" elevado a 4 vai ficar "b²". Esse outro "b²" aqui vai se transformar em 1, certo? Agora, vamos multiplicar por "a²" para a gente se livrar das frações e, quando fizermos isso nesse termo aqui, vai nos restar apenas o "c²". Nesse outro termo aqui, vou simplificar também com "a²", vai nos restar o "b²". E, finalmente, quando multiplicarmos o "a²" por isso aqui, -a²m² e tudo isso igual a zero. E, agora, podemos somar isso daqui em ambos os lados, vamos ter que c² + b² = a²m². E, agora, o que nos restou foi uma interessante relação entre essas letras. Se nós soubermos aqui em cima, na equação da tangente, qual é o valor do "m" e qual é o valor do "c", a gente tem uma interessante relação aqui entre o "a" e o "b". E, se nós soubermos qual o valor do "a" e qual o valor do "b", temos uma interessante relação para a equação da reta. E, aí, nós vamos usar isso no próximo vídeo do "ITT-JEE" que nós vamos fazer. Então, até o próximo vídeo!