Tangente comum de circunferência e hipérbole (3 de 5)

RKA8JV Nesse vídeo, nós vamos fazer com a hipérbole, exatamente a mesma coisa que fizemos com a circunferência, nós vamos encontrar restrições para onde a reta tangente irá cortar o eixo do ''y'' em termos de ''m''', só que dessa vez vamos usar a hipérbole e depois vamos igualar os dois resultados, o da circunferência e o da hipérbole, e aí resolver para encontrar o valor do ''m''. Então, vamos recordar aqui qual é a equação que ele nos deu para a hipérbole. Está bem aqui, x²/9 - y²/4 = 1. Então deixa eu escrever aqui. x²/9 - y²/4 = 1. Agora, a gente pode substituir, no lugar lugar do y², colocar o que nós encontramos no vídeo anterior. É isso aqui, pois já que a mesma reta, eu posso usar dessa forma. Só que a primeira coisa que vou fazer antes disso, é multiplicar ambos os lados da equação por 36, que é o mínimo múltiplo comum entre 9 e 4, então, isso aqui vai ficar: 36/9, que dá 4, então 4x², menos, 36/4, que dá 9, e 9 vezes - y² vai ser então -9, que multiplica o valor do y², que nós encontramos aqui em cima, portanto, vai ser menos 9 vezes (m²x² + 2mbx + b²), e isso tudo vai ser igual, você lembra que nós multiplicamos por 36 dos dois lados, então 36 vezes 1, 36. Agora vamos simplificar essa equação toda. E isso aqui então vai ficar igual a quanto? 4x² menos 9 vezes m²x², menos 9 vezes 2mbx, que vai dar -18mbx, menos 9b². Agora, eu vou subtrair 36 dos dois lados, então aqui eu vou ter -36, e tudo isso vai ser igual a zero. Então, aqui eu tenho uma equação quadrática em função do ''x''. Vamos então ver aqueles que têm os termos de ''x'' com o mesmo grau. Aqui eu tenho x², e isso vai ser a mesma coisa que (4 - 9m²), que multiplica por x², depois disso, o nosso único termo que tem ''x'' é exatamente esse, então, isso vai ser -18mbx, e os nossos termos constantes são esses aqui, -9b² - 36, e é claro, tudo isso vai ser igual a zero. Agora, você se lembra que, para a gente usar a fórmula da equação quadrática eu preciso de apenas uma única solução, ou seja, que o discriminante da equação quadrática, aquilo que está dentro da raiz quadrada, seja igual a zero, ou seja, exatamente o que nós fizemos aqui em cima, não é? Esse ''b² - 4ac'' tem que ser igual a zero. Então vamos fazer isso, b² - 4ac = 0 e vamos ter as restrições para o ''m'' e para o ''b''. Portanto, b², vai ser isso aqui, não confunda esse ''b'' com aquele ''b'' da raiz quadrada do b²- 4ac, tá? Então, esse termo ao quadrado, b², vai ficar 18²m²b², aqui deu positivo porque esse valor negativo quando elevado ao quadrado fica positivo, menos 4 que multiplica o valor do ''a'', que é (4 - 9m²), isso aqui ainda multiplica pelo valor do ''c'', que é isso aqui, então vai ser, vou escrever assim, (-9), colocando esse -9 em evidência, então vai ser (b² + 4), será que eu fiz certo? -9 vezes b², -9b², -9 vezes 4, -36. Certinho. E aqui eu posso multiplicar esse -9 com esse -4, que eu vou ter o +36, certo? Agora eu vou fazer o seguinte, deixa eu ver, posso escrever esse 18² como sendo 2 vezes 9 vezes 2 vezes 9, ou, uma outra maneira de ver isso, é fazer 4 vezes 9 vezes 9. Como você lembra, até esqueci de colocar aqui, mas isso tudo tem que ser igual a zero. Então, analisando bem isso daqui, eu posso dividir ambos os lados dessa equação por 36, e 36 é a mesma coisa que 4 vezes 9, então, eu posso dividir ambos os lados por 4 vezes 9, não é isso? Então, quando eu fizer isso, quando efeituar a divisão de 36 dos dois lados, eu posso me livrar desse 4 e desse 9, e aí eu vou ter o que aqui? Eu vou ter um 9m²b², e aqui, quando eu simplificar por 36 eu vou simplesmente eliminar esse termo, e eu vou ter esse termo aqui, que multiplica esse termo. Vamos ver quanto isso vai dar. 4 vezes b² vai dar + 4b². Deixa só eu fazer de uma cor diferente aqui, fazer em um azul para facilitar. Isso vai ficar então, 4b², depois 4 vezes 4, que vai dar 16, positivo também, agora aqui, -9m² vezes b² vai dar -9m²b². E para finalizar, -9m² vezes 4, isso vai dar -36m², e tudo isso tem que ser igual a zero. Para a nossa sorte, olha aqui, eu posso cancelar esse termo com esse, e o que nos sobra, todos esses termos são divisíveis por 4, são ou não são? Então, vamos dividir ambos os lados da equação por 4. Dividindo esse termo por 4, eu vou ter o b², certo? Vai ser esse termo aqui, agora vou pegar esse termo e dividir por 4, isso vai me dar -9m², e para finalizar, 16 por 4 vai dar +4, e tudo isso é igual a zero. E agora você repara que aqui eu não preciso nem usar a fórmula da equação quadrática, eu posso simplesmente subtrair esse valor dos dois lados, e eu vou então que b² vai ser igual a 9m² menos 4, e aí então, o valor do ''b'' vai ser igual a raiz quadrada de 9m² - 4. Será que eu fiz isso aqui certo? Deixa eu dar uma olhada. É, não me parece errado, está tudo certinho, beleza. E agora eu tenho uma situação que, se o ''b'' é igual a isso aqui, e também o ''b'' lá para circunferência que nós calculamos também é igual a isso aqui, deixa antes eu dar um ''ctrl c + crtl v'', vou copiar isso daqui tudo, ''ctrl c + ctrl v''. Colocar isso daqui aqui embaixo. Vamos lá, deixar aqui. E agora, como vocês podem perceber, eu vou resolver para o ''m'', e quando eu encontrar o valor do ''m'', já que o ''b'' é igual a isso e também o ''b'' é igual a isso, eu vou encontrar valor do ''m'', e dessa forma, ao achar o valor do ''m'', eu tenho o valor da inclinação da minha reta tangente. Depois disso, depois que eu encontrar o valor do ''m'', eu sigo adiante e encontro então o valor do ''b''. Eu vou fazer isso no próximo vídeo. Então, até o próximo vídeo, tchau tchau!