Movimento de um projétil (parte 3)

RKA12 Olá, pessoal! No último vídeo, nós resolvemos uma questão muito interessante em que nós tínhamos a nossa distância... (opa, estou com uma cor errada aqui)... nós tínhamos a distância, a velocidade inicial de um projétil (a distância, no caso, era a altura de uma montanha) e nós tínhamos a aceleração a qual este projétil estava submetido, que, no caso, era igual a "g", a aceleração da gravidade, que naquela conta eu acho que foi 9,8 ou 10 m/s² que a gente utilizou, mas não importa. A ideia por trás disto tudo é a mesma, só muda o valor. E ok. E, tendo isto, a gente chegou em uma equação muito importante na Física que é a chamada "equação de Torricelli". E a equação relacionava a velocidade final, que era o que eu queria encontrar, com a velocidade inicial, a aceleração e a minha variação na posição. Então, eu vou botar aqui um Δd (delta "d"). Lembrando que, se por acaso, na minha questão, eu fizesse uma... ou eu assumisse que a minha distância começa no valor zero, eu poderia tirar este "Δ" aqui e ficaria só "2ad". Mas isto é só uma questão de formalismo matemático e eu acho que não vai incomodar se a gente deixar este Δd aqui por enquanto. Ok. Então, a gente conseguia achar a nossa velocidade final sem se importar com uma variável que, até então, tinha aparecido em todos os lugares, que era o tempo. Só que, agora, eu quero propor para vocês... (e vocês já vão entender... no final deste vídeo vocês vão entender o porquê)... eu quero propor para vocês que a gente tenha estes mesmos três dados (a distância, a velocidade inicial e a aceleração), só que a gente tente relacionar estas grandezas com o tempo. E, aqui, se vocês olharem atentamente, se vocês já estavam estudando esta fórmula antes, vocês já devem ter percebido que basta eu ter a velocidade final, e, uma vez que eu tenha a velocidade final, eu posso facilmente calcular o tempo que um objeto demorou para cair, por exemplo. Só que vamos supor que eu não queira passar por todo este passo aqui. Vamos supor que eu queira pular isto e chegar direto em uma equação que relacione estas três grandezas com o tempo. Ok. Então, vamos começar. Se a gente pegar... (vamos começar com uma fórmula bem básica)... se a gente pegar a nossa variação na distância e dividir pela variação no tempo, nós vamos obter uma grandeza que é chamada de velocidade. Só não esqueçam que aqui é velocidade média. Ok. Então, a gente tem a velocidade média. Então, agora, vamos tentar fazer uma mudança aqui nesta equação (nós já temos um começo bem simples e sucinto), mas vamos tentar fazer uma mudança aqui para deixar isto aqui um pouco melhor para a gente manipular esta equação. Então, o que eu vou fazer é multiplicar ambos os lados por "t". E eu vou... eu esqueci de falar isto antes, mas eu vou assumir que a minha distância comece em zero e o meu tempo comece em zero. Então, eu posso tirar este "Δ" aqui. Ok. Então, multiplicando os dois lados por "t", este "t" aqui vai ser cancelado com este "t" aqui, e este "t" vai continuar. Então, eu vou ficar com "d", que vai ser igual à velocidade média vezes o tempo. Ok. Então, agora, vamos tentar continuar manipulando. A gente tem a distância, só que nos nossos dados não foi dada a velocidade média. Então, nós temos que tentar mexer neste termo aqui da equação. Ok. Então, nos últimos vídeos, a gente viu que a velocidade média era simplesmente uma média comum entre a velocidade final e a velocidade inicial, ou vice versa, e isto daqui dividido por 2. Então, isto é a nossa velocidade média, e eu vou trocar este valor aqui na nossa equação. Então, eu vou substituir aqui a minha velocidade média. Então, eu vou ficar com "d", que vai ser igual a este valor que a gente encontrou lá em cima... (deixe-me botar um parêntese bem grandão aqui)... então, aqui, vai ficar... (vou tentar fazer de cores diferentes)... aqui vai ficar "Vf" mais "Vi" (que é a velocidade inicial) e isto daqui dividido por 2. Agora, eu posso fechar o parêntese e colocar o tempo aqui atrás. Então, eu vou tentar usar as mesmas cores, mas eu acho que eu fiz uma escolha muito infeliz de cor e ficou meio parecido. Ok. Então, continuando. Agora, a gente tem (já apareceram) dois valores aqui em cima que a gente já tem, que são a distância (que está aqui) e a minha velocidade inicial (que está aqui). Então, deixe-me só apagar para não confundir. Ok. Então, agora, nós não temos a velocidade final e nós vamos tentar tirar este valor da velocidade final daqui. E, se vocês lembrarem dos últimos vídeos, nós também tínhamos uma relação de velocidade que falava que a variação na velocidade era igual à aceleração vezes a minha variação no tempo. Então, vezes meu Δt. Ou ainda eu posso botar "t" porque eu estou assumindo... (deixe-me usar só a mesma cor de "t" aqui)... eu estou assumindo que eu começo no "t = 0". Então, eu não preciso colocar aqui um "Δt". E, se a gente ainda abrir este ΔV aqui, a gente vai ficar com "Vf - Vi", que é a variação na velocidade (a velocidade final menos a velocidade inicial), e isto aqui tem que ser igual a minha aceleração vezes o tempo. Ok. Então, agora, a gente vai isolar este "Vf" aqui (minha velocidade final), e, para isso, eu vou ter que somar "Vi" nos dois lados. Então, eu vou ficar com: "Vf" vai ser igual a "Vi" mais "a" vezes "t". Ok. Então, agora, a gente conseguiu isolar o termo "Vf" e basta substituir, colocar isto daqui nesta parte aqui da nossa equação original (então, deixe-me botar para baixo para pegar mais espaço). Então, nós vamos continuar aqui nossa equação. "d" vai ser igual... agora, basta substituir este "Vf" pelo que a gente encontrou aqui. Vai ficar "Vi" mais "a" vezes "t"... (eu estou tentando usar as mesmas cores só que as cores que eu escolhi aqui estão meio difíceis de ficar fazendo cores diferentes... acho que eu peguei coisas muito iguais. No próximo vídeo eu tenho que mudar isto)... então, aqui está isto aqui. Ok. Agora, somar com este "Vi" que faltava colocar ali atrás. Então, aqui, "Vi". Posso fechar este parêntese e não posso me esquecer de multiplicar tudo por "t" ainda (multiplica tudo por "t"). Ok. Então, agora, só para terminar de isolar e somar e deixar isto aqui uma coisa um pouco mais bonita, então eu vou somar estes dois "Vi" aqui. Então, eu vou ter "2Vi". E, é claro, o parêntese (não posso me esquecer dos parênteses, por enquanto). Isto aqui ainda somado com "a" vezes "t" dividido por 2. Aí, eu posso fechar meu parêntese e ainda multiplicar por "t". Ok. Agora, para acabar com estes parênteses aqui, eu vou multiplicar tudo isto daqui por "t". Mas este termo aqui eu vou dividir por 2. Somente esse... eu vou dividir por 2 e tirar este 2 do denominador. E no outro, no "a" vezes "t", eu vou deixar. Então, nós vamos ficar, no final, com "d" igual a "Vi" vezes "t"... (lembrando que eu dividi por 2, então cancelou aquele 2, então o "Vi" vezes "t")... e isto daqui somado com "a" vezes "t"... então fica a aceleração vezes o tempo ao quadrado. Então, aceleração vezes o tempo ao quadrado. E a gente acabou de chegar em uma segunda fórmula muito importante, que talvez vocês já devam ter visto ou talvez vocês não viram ainda, mas é chamada de "equação horária do segundo grau". É uma equação que relaciona, como a gente viu aqui em cima, como a gente gostaria... (deixe-me voltar para cima)... é uma equação que relaciona a distância (que está aqui) com a velocidade inicial (que está aqui) com a aceleração (que está aqui) e também com o tempo, que é o que nós gostaríamos de encontrar. Então, só um pequeno adendo aqui, uma pequena informação extra, que vocês provavelmente vão precisar para os nossos próximos vídeos, é que aqui eu tenho um "d". Mas eu poderia colocar aqui um Δd caso o meu exercício não começasse na distância zero, o meu movimento não começasse na distância zero. Então, eu poderia colocar este "d" aqui e passar então... eu ia ficar aqui com "df" menos "di", e isto aqui igual a toda esta equação. Só que daí eu poderia passar a minha distância inicial... a minha posição inicial, desculpa.... para o outro lado da equação, e eu ficaria com... (deixe-me só terminar de apagar aqui)... e eu ficaria com "df", que é igual a minha posição final (no caso, não estamos mais falando de deslocamento, estamos falando de posição agora)... ficaria igual a minha posição inicial mais "Vi" vezes "t" mais "at²", e aqui sobre 2. Quase que eu me esqueci. Faltou um "sobre 2", que era este denominador que estava aqui, que eu cancelei no primeiro e esqueci de deixar no segundo. Então, esta é a minha equação finalizada... (deixe-me só terminar de escrever este "sobre 2" aqui de uma maneira que não fique confuso)... então, aqui eu tenho ainda "at²" sobre 2, e esta é a minha equação horária do segundo... minha função horária ou equação horária... (tem livros que chamam de jeitos diferentes)... do segundo grau. E vocês também podem ter visto já ela escrita desta maneira aqui. Mas as duas são análogas. As duas equações falam a mesma coisa. Então, no próximo vídeo, nós vamos utilizar isto, agora que nosso arsenal de contas, nosso arsenal de fórmulas está muito bem desenvolvido. Até a próxima, pessoal!