Movimento de um projétil (parte 2)

RKA12 Olá, pessoal! No último vídeo, eu me joguei de um penhasco para a gente calcular qual era a altura desse penhasco, tendo a nossa velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração. E, neste vídeo, eu vou fazer a mesma coisa, só que eu não vou usar valores. Eu quero ver se a gente consegue achar alguma fórmula para generalizar este caso e a gente poder resolver mais rapidamente nossos próximos problemas. Então, vamos assumir que nós temos... então dadas a nossa velocidade inicial, a nossa velocidade final e a aceleração, eu quero a distância. Ok. Então, da mesma forma que a gente procedeu no último vídeo, a gente pode começar pegando a fórmula da variação da distância. Então, a nossa variação na distância vai ser igual à velocidade... ou melhor, à velocidade média... (deixe-me fazer de outra cor aqui)... à velocidade média vezes a minha variação no tempo. Só que, como eu vou assumir aqui que a gente está utilizando uma distância que começa no zero, então eu posso remover este Δ (delta). Então, eu só vou ficar com "d" igual à velocidade média vezes tempo. Ok. E, agora, a velocidade média. Bom, a velocidade média a gente viu nos últimos vídeos que é simplesmente a média aritmética entre as velocidades inicial e final. Então, a minha velocidade média vai ser igual a minha velocidade inicial mais a minha velocidade final dividido por 2. Então, eu já posso trocar aqui nesta equação. Então, vamos lá! "d" vai ser igual... então, agora, vou ter "Vi"... (ou melhor, deixe-me escrever isto de uma maneira mais bonita, eu vou botar os parênteses depois)... então, "Vi" mais "Vf" dividido por 2. Ok. Isto é entre parênteses. E, agora, multiplicado pelo tempo. Só que, agora, nós podemos achar este tempo e simplificar ainda mais nossa equação. Vocês se lembram daquela fórmula da mudança da velocidade? Que ela ficava assim: a mudança da velocidade, a alteração na velocidade, ou a variação na velocidade (três maneiras diferentes de falar a mesma coisa) é igual a minha velocidade final menos a minha velocidade inicial, ou ainda a minha aceleração... é igual a minha aceleração vezes o intervalo de tempo. Mas, como eu estou assumindo que a minha velocidade inicial é zero e meu tempo inicial é zero, eu vou remover este Δ da frente. Então vai ficar: "V" vai ser igual a "Vf" menos "Vi", que também é igual "a" vezes "t". Ok. Então, agora, a gente pode dividir... eu vou esquecer este lado daqui da equação e eu vou dividir os dois lados por "a". Então, só deixe-me escrever isto para não confundir ninguém. Então, aqui eu vou dividir por "a", e aqui eu também vou dividir por "a". Então, nós vamos ficar com, já passando "t" para o lado esquerdo, "t" igual a "Vf" menos "Vi" dividido por "a". Ok. Este resultado ficou bem legal. Então, agora, eu posso trocar aqui. Então, nós vamos ficar com a fórmula: "d" vai ser igual a "Vi" mais "Vf" dividido por 2, e isso ainda multiplicado por "t", que eu acabei de achar, que vai ser... (deixe-me pegar uma cor que apareça um pouco melhor... acho que esta aqui).... multiplicado por "Vf" menos "Vi" dividido por "a". Ok. Então isto daqui aqui em cima... (talvez já tenha saltado aos olhos de vocês)... isto daqui é um produto notável. Então, a gente pode reescrever isto aqui tudo como "Vf²" menos "Vi²" dividido por "2a" (estou só multiplicando aqui embaixo). E isto aqui realmente é um resultado bem interessante, porque nós podemos... (eu vou reescrever esta fórmula mais uma vez, só para ficar de uma maneira mais limpa)... então, nós temos aqui "d" igual a "Vf²" menos "Vi²" sobre "2a". E esta fórmula (embora, talvez, vocês não tenham sido apresentados a ela ainda, ou talvez já tenham sido) se chama "equação de Torricelli" (nome do cientista que a derivou pela primeira vez). E esta é uma equação bem importante porque ela nos permite, dadas a velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração, descrever a distância percorrida (o deslocamento de movimento) sem ter que utilizar o tempo, sem ter que descobrir o tempo. Então, isto é uma coisa bem importante. E, provavelmente, vocês vão vê-la nos livros desta maneira aqui. Eu vou reescrevê-la. Vai ficar, então, no lado esquerdo: "Vf²" que vai ser igual... ok, agora, eu vou passar este... eu vou primeiro multiplicar este "d" vezes "2a", então vai ficar "2ad". Então, "2ad". E, agora, eu vou passar este "Vi²" para o outro lado. Então, ele vai multiplicar por -1. Seria como se eu estivesse adicionando "-Vi²" nos dois lados. Então, aqui, vai ficar "+Vi²". E talvez vocês vejam esta fórmula aqui nos livros de vocês como a equação de Torricelli. Então, agora, vamos fazer um miniexemplo para ver o que esta fórmula pode nos dar, como ela pode ser importante. Então, vamos supor que eu peguei o mesmo penhasco (que agora ficou azul) e desta vez... ah, eu ainda tenho aqui a distância zero... e aqui a minha distância final, que é -500... mas vamos supor que desta vez eu jogue uma moeda, vamos supor. Só que eu jogue esta moeda primeiro para cima com uma velocidade, digamos, de mais +30 m/s, e eu queira saber a minha velocidade final quando ela estiver aqui. Então, a velocidade final é o que eu quero descobrir. Ok. Então a gente pode começar a substituir as coisas nesta equação. Vai ficar muito mais fácil se a gente usar direto esta equação aqui porque ela já está com o "Vf²" isolado. Então, vamos lá! A velocidade final ao quadrado, que é o que eu quero descobrir, é igual... agora, eu só vou botar este "Vi²" um pouquinho na frente, que é a minha velocidade inicial. Então, a minha velocidade inicial é +30 m/s. Então, eu vou ficar com... eu vou fazer de amarelo... eu vou ficar aqui com "(30)²", e isto daqui "mais"... agora, duas vezes a aceleração... que como, no caso, a gente adotou aquele sistema de referencial em que para cima é positivo e para baixo é negativo, então a minha aceleração vai ser -10... é importante não errar aqui, porque estes sinais importam... então duas vezes -10 m/s² (eu estou ocultando aqui as unidades porque eu acho que vai deixar um pouco mais simples o nosso cálculo), e isto ainda multiplicado pela distância, ou melhor, pelo deslocamento, que vai ser de -500, porque a gente começa aqui. A variação no deslocamento é o final menos o inicial, independente se a gente, por exemplo, andou um pouco para cima. O que importa é o tanto que a gente acabou em relação ao que a gente começou. Ok. Então, o nosso deslocamento vai ser -500. E, agora, fazendo este cálculo: "Vf²" (minha velocidade final ao quadrado) vai ser 900 mais... agora, -10 vezes -500 cancela o sinal negativo. Então, aqui, fica 5 mil vezes 2, que é 10 mil. Então, a minha velocidade final ao quadrado vai ser igual a 19 mil. Mas agora nós... ou melhor, 19 mil não.... 10.900 (quase que eu cometo um erro grotesco aqui)... 10.900. E, agora, eu tiro a raiz quadrada disto... (deixe-me pegar minha borracha aqui e apagar este negócio)... e, agora, eu tiro a raiz quadrada disto aqui. Então, a minha velocidade final vai ser igual... (deixe-me pegar a minha calculadora)... Então, 10.900 (opa! foi um zero a mais)... a raiz quadrada disto é 104. E agora é importante porque, quando a gente tira uma raiz quadrada, o nosso resultado pode ser positivo ou negativo, então "mais ou menos", e vai ser aproximadamente 104. Então, vou botar aqui um sinal de aproximadamente (quando tem este igual um pouco ondulado) e aqui 104 m/s. E, agora, analisando o nosso caso, analisando o nosso problema, a gente pode dizer se o sinal é positivo ou negativo. Como a nossa velocidade final nós vamos estar em queda (nós vamos estar indo para baixo), então o nosso sinal é negativo por causa da nossa convenção de que para baixo é negativo. Então, a nossa velocidade final vai ser igual a -104 m/s. E é isso. Até o próximo vídeo!