Derivação do deslocamento máximo de um projétil em um dado momento

RKA12 Olá, pessoal! A intenção neste vídeo é fazer aqueles cálculos que a gente fazia de lançamento oblíquo, de achar a distância (o deslocamento, na verdade) e achar a velocidade inicial. Só que neste vídeo nós vamos tentar derivar estas fórmulas para facilitar a gente achar isto de cabeça. Vamos supor que a gente esteja em um campo fazendo alguns testes com a pedra. Por exemplo, jogando-a para cima. E a gente precisa calcular estas coisas, só que a gente não tem um papel disponível. Então, este vídeo vai servir mais ou menos para isso. Então, vamos começar definindo algumas variáveis, como por exemplo Δt (delta t), que é o tempo que o projétil fica no ar. Então, tempo no ar. Ok. E a gente também agora pode definir que nós, neste caso, nós só vamos nos preocupar com a primeira metade do processo, que é quando a gente lança o projétil. Ele vai subir, vai subir, vai subir, vai chegar em um ponto máximo em que ele fica estacionário e, depois, começa a descer. Então, este tempo até ele começar a ficar estacionário é metade do tempo total. E eu vou chamar esta variável de "Δt cima", que é o tempo percorrido em que o projétil está se deslocando para cima. E isto vai ser igual à metade do tempo total. Ok, agora, nós vamos tentar achar a variação da velocidade. Para isso, nos dá a velocidade inicial. Então, a variação na velocidade é a velocidade final (que é zero, porque ele ficou estacionário aqui) menos a velocidade inicial. Então, zero menos a velocidade inicial. E isto daqui é a nossa variação na velocidade, então "Δv". Isto daqui tem que ser igual a menos "g", que, no caso, eu vou usar 9,8 já... vamos supor que a gente esteja em um lugar em que a aceleração seja 9,8 m/s²... multiplicado pelo tempo que o projétil ficou no ar. Só que aqui a gente só está se preocupando com o tempo de subida. Então, vai ser "Δt/2". Ok. Agora, nós vamos reescrever isto aqui como menos velocidade inicial (simplesmente esqueci este zero aqui), e isto aqui tem que ser igual a -9,8 (eu vou tirar este m/s² daqui para não ficar tão poluído) e vezes... ou melhor, já vou dividir por 2. Eu vou dividir este 2 aqui com este 9,8. Então, vai ficar -4,9. E isto multiplicado por Δt, que agora é o tempo total (porque não está mais dividido por 2). E, agora, eu posso tirar este sinal negativo multiplicando os dois lados por -1. Então, a nossa velocidade inicial vai ser igual a 4,9 vezes Δt. E isto vai nos dar a velocidade inicial. Mas, se a gente quisesse dizer também que a velocidade inicial é 9,8 vezes "Δt/2", também estaria certo. A gente só precisaria utilizar o tempo total no ar e dividir por 2. É a mesma coisa. Só que eu acho que deste jeito aqui fica um pouco mais simples. Então, nós chegamos aqui na fórmula da velocidade inicial. E, agora, eu quero calcular o deslocamento, eu quero calcular este deslocamento aqui que, no caso, vai ser a altura máxima que o projétil vai chegar quando ele fica estacionário. Então, vamos lá! Nós temos o nosso deslocamento e ele vai ser igual à velocidade média de subida (então, velocidade média) vezes o tempo que o objeto fica no ar, que, no nosso caso, vai ser este "Δt cima", que então é "Δt/2". Então, o nosso deslocamento vai ser igual à velocidade média. Então, agora, para achar a velocidade média, a gente realmente faz a média aritmética das velocidades. Então, a velocidade inicial mais a velocidade final dividido por 2. E isto daqui vai me dar a velocidade média. E, só fazendo os cálculos agora, a nossa velocidade inicial é isto aqui. Então... e a nossa velocidade final é zero... então, nós vamos ficar com: nossa velocidade média vai ser 4,9 vezes Δt, e isto daqui dividido por 2 (este 2 que estava aqui embaixo). Isto aqui é a nossa velocidade média. Então, agora, só colocando nesta fórmula aqui, nós vamos ficar com 4,9 vezes Δt... (eu vou botar uma vírgula aqui para não confundir)... vezes Δt... dividido por 2... (deixe-me mudar a cor para o "dividido por 2")... e, agora, multiplicado por este "Δt/2" que sobrou aqui atrás (por este "Δt/2" que sobrou ali). Então, o nosso deslocamento, a altura máxima que o objeto vai atingir, vai ser este 4,9 dividido por 4, porque vai ser 2 vezes 2. Então, 4,9 dividido por 4... (deixe-me usar a minha calculadora)... 4,9 dividido por 4, 1,225. Então, isto aqui vai ser igual a 1,225 vezes (Δt)². E pronto! Era até aqui que eu queria mostrar. Agora, vamos utilizar esta fórmula só para ver se a gente conseguiu alguma coisa parecida. Vamos supor que a gente jogou um objeto para cima e a gente descobriu que ele ficou 5 segundos no ar. 5 segundos foi o tempo total, então a metade do tempo (o tempo em que ele ficou para cima) foi 2,5. Mas aqui nesta fórmula nós temos o nosso Δt, que é o tempo no ar, então, vamos trocar os valores. Então, eu tenho 1,225 multiplicado por (Δt)². Então, vezes 5 vezes 5. Isto daqui vai dar um deslocamento (uma altura) de 30,625 metros, que é um valor bastante aceitável (uma aproximação bem legal), e acho que isto funcionaria se a gente utilizasse em uma saída de campo, por exemplo. Então, vocês só vão precisar saber estas duas fórmulas aqui, que no caso seria da velocidade inicial e a do deslocamento.