Produto vetorial 1

RKA11E Pediram-me para fazer um vídeo sobre produto vetorial e suas circunstâncias especiais. Porque eu estava no ponto da lista de reprodução da Física, onde eu tinha que ensinar magnetismo de qualquer maneira. Então, essa é uma boa hora para apresentar a noção do produto vetorial. Assim, qual é o produto vetorial? Bem sabemos sobre soma vetorial, subtração vetorial, mas o que acontece quando multiplicamos vetores? Na verdade, existem duas maneiras de fazê-lo. Como um produto escalar ou produto vetorial. E apenas tenha em mente que esses são... Na verdade cada operação que aprendemos é definida pelos seres humanos para algum outro propósito, e não há nada diferente sobre o produto vetorial. Bom, eu reservo algum tempo aqui para dizer isso, porque o produto vetorial, pelo menos quando eu aprendi pela primeira vez, pareceu um pouco anormal. Bom, enfim, chega de conversa. Vamos lá. Deixe-me mostrar para você o que é. Então, o produto vetorial de dois vetores. Digamos que eu tenha um vetor "a" por vetor "b". E a notação é literalmente igual ao sinal de vezes que você conheceu antes de começar a ter álgebra, e usar um ponto e parênteses. Então, é literalmente apenas um "x". Então, o produto vetorial dos vetores "a" e "b" é igual a... E isso vai parecer muito bizarro de início, mas espero que a gente consiga visualizar melhor o que isso significa. Ele é igual ao módulo do vetor "a", vezes o módulo do vetor "b", vezes o seno do ângulo entre eles. O menor ângulo entre eles. Agora, este é o melhor de tudo, e essa quantidade não vai ser apenas uma quantidade escalar. Não vai ter apenas módulo, ele na verdade, vai ter direção. E essa direção nós especificamos pelo vetor "n" ou pelo vetor unitário "n". Poderíamos colocar um pequeno boné nele, para mostrar que é um vetor unitário. Existem algumas coisas que são especiais sobre essa direção que é especificada por "n". Uma, "n" é perpendicular à esses vetores. Ela é ortogonal a esses dois vetores. Então pensaremos sobre isso em um segundo, o que tem implicações apenas em como visualizamos isso. Em seguida outra coisa é a direção desse vetor, que é definida pela regra da mão direita e veremos isso em um segundo. Vamos tentar pensar nisso visualmente. E eu tenho que fazer uma ressalva importante: você só pode tirar um produto vetorial quando estivermos trabalhando em três dimensões. Um produto vetorial realmente tem ... talvez você poderia definir um uso para ele em outras dimensões, ou uma maneira de tirar um produto vetorial em outras dimensões, mas ele realmente tem uso em três dimensões. E isso é útil porque vivemos em um mundo tridimensional. Então vamos ver. Vamos tirar alguns produtos vetoriais. Eu acho que quando você visualizar isso, fará um pouco mais de sentido, especialmente uma vez que estiver acostumado com a regra da mão direita. Então vamos dizer que esse é o vetor "b". Eu não preciso desenhar uma linha reta, mas não custa. Vamos desenhar. Eu não preciso desenhá-la certinho. Ok, aí vamos. Digamos que esse seja o vetor "a" e queremos tirar o produto vetorial deles. Esse é o vetor "a", e este é "b". Provavelmente trocarei só para uma cor, porque é difícil ficar trocando de cor a toda hora. Então, o ângulo entre eles é θ. Agora, vamos dizer que o comprimento de um, seja sei lá, vamos dizer que o módulo de "a" é igual a 5. E vamos dizer que o módulo de "b" é igual a 10. Parece o dobro disso. Eu apenas vou inventar os números na hora. Então qual é o produto vetorial? Bem, a parte do módulo é fácil. Vamos dizer que este ângulo é igual a 30º. 30º ou se quiséssemos escrevê-lo em radiano, eu sempre, só porque crescemos no mundo em graus, eu sempre achei mais fácil visualizar em graus. Mas poderíamos pensar isso em termos de radianos também. Bom, 30º é, vamos dizer, 3, 6 é π sobre 6, então poderíamos escrever π sobre 6 radianos. Mas enfim, esse é um ângulo de 30°. Então, o que será "a" vetorial "b"? "a vetorial "b" será igual ao módulo "a" pelo comprimento desse setor. Portanto, será igual a 5 vezes o comprimento desse vetor "b". Assim, vezes 10 vezes o seno do ângulo entre eles. E claro, você poderia ter pego o ângulo maior, obtuso. Você poderia ter dito que esse era o melhor ângulo entre eles, mas eu disse anteriormente que esse é o ângulo menor, o agudo. Entre eles até 90 graus. Esse será o seno de 30° vezes esse vetor "n". E é um vetor unitário, então vou passar por qual direção ele está apontando já, já. Vamos apenas descobrir sua magnitude. Assim, isso é igual a 50, e qual é mesmo o sen30°? Bom, o sen30° é ½. Você pode usar sua calculadora, se não tiver certeza. Então é 5 vezes 10, vezes ½ vezes unitário. Assim, isso será igual a 25 vezes o vetor unitário. Agora, aqui onde fica dependendo do seu ponto de vista, interessante ou confuso. Então, em que direção esse vetor unitário está apontando? O que disse anteriormente é que é perpendicular a esses dois, então como alguma coisa pode ser perpendicular à esses dois? Parece que eu não consigo desenhar um. Bem, isso é porque bem aqui, onde eu desenhei "a" e "b", estou operando em duas dimensões. Mas se eu tivesse uma terceira dimensão, se eu pudesse entrar ou sair do meu bloco de notas, então eu teria um vetor que é perpendicular a ambos. Então, imagine um vetor que eu gostaria de poder desenhá-lo. Isso está literalmente entrando direto nesse ponto e saindo direto nesse ponto. Eu espero que você esteja vendo isso. Deixe-me mostrar a notação para isso. Então se eu desenhar um vetor igual a esse, se eu desenhar um círculo com um "x" nele, desse jeito, esse é um vetor que está entrando na página ou na tela. Se eu desenhar isso, esse é um vetor que está pulando da tela. E de onde vem essa convenção? É de uma ponta da seta. Porque com que uma seta se parece? Uma seta que é a nossa convenção para desenhar vetores, se parece com algo assim. A ponta da seta é circular, e ela termina num ponto. Então essa é a ponta. Se você olhar para ela de frente, como se ela estivesse pulando do vídeo. E com que se parece a parte de trás de uma seta? Wla tem barbatana, certo? Haveria uma barbatana aqui, e outra barbatana bem ali. Se você pegasse essas seta, e entrasse na página só para ver a parte de trás da seta, ou a traseira da seta, se pareceria com isso. Então, esse é um vetor que vai entrar na página e esse é um vetor que vai sair da página. Então sabemos que "n" é perpendicular tanto a "a", quanto a "b". Então a única maneira de você obter um vetor que seja perpendicular esses dois, tem de ser perpendicular ou normal, ou ortogonal ao plano, como é a tela do seu computador. Mas como sabemos se está entrando na tela ou como sabemos se está saindo da tela esse vetor "n"? E é aqui que a regra da mão direita ... E eu sei que isso é um pouco maçante, mas faremos um monte de problemas como exemplo. Mas para usar a regra da mão direita, o que você faz é pegar a sua mão direita, e é por isso que se chama regra da mão direita, você pega o seu dedo indicador, e você aponta na direção do primeiro vetor em seu produto vetorial. E a ordem importa. Então vamos fazer isso. Então você tem de pegar o seu dedo e colocá-lo na direção da primeira seta. E então você tem que pegar o seu dedo médio, e apontá-lo na direção da segunda seta, "b". Assim, nesse caso sua mão ficaria parecida com alguma coisa assim. Eu vou tentar desenhá-la. Fazer esses vídeos está melhorando minhas habilidades artísticas. Então, essa é a minha mão direita, meu polegar direito vai descer, certo? Essa é minha mão direita, e esse é o meu dedo indicador. E eu estou apontando na direção de "a". Talvez ele vá um pouco mais nessa direção, certo? Então, eu coloco meu dedo médio e faço um "L" com ele. Ou você poderia dizer que quase parece que você está usando uma arma. Eu aponto isso aqui na direção de "b". E em seguida, qualquer que seja a direção em que seu polegar e se tiver voltado, nesse caso seu polegar vai entrar na página, certo? Seu polegar estaria descendo, se você pegasse sua mão direita nessa configuração. Então, isso nos diz que o vetor "n" aponta para dentro da página, então o vetor "n" tem magnitude de 25, e ele aponta para dentro da página. Poderíamos então desenhá-lo desse jeito como um "x". Se eu fosse tentar desenhar isso em três dimensões, pareceria algo assim. Vetor "a", deixe-me ver se consigo dar um pouco de perspectiva. Se isso estivesse direto para baixo, se esse é o vetor "n", então "a" poderia se parecer com alguma coisa assim. Deixe me desenhar isso da mesma cor que "a". Poderia se parecer com uma coisa assim. Então "b" se pareceria com algo assim. Bom, eu estou tentando aqui desenhar uma figura tridimensional em duas dimensões. Poderia parecer um pouco diferente, mas eu espero que você entenda. Aqui eu desenhei "a" e "b" no plano. Aqui eu tenho perspectiva, onde eu consegui desenhar "n" descendo. Mas essa é uma definição de um produto vetorial. Bom, eu vou parar por aqui, porque por algum motivo o Youtube não tem me deixado passar o limite. Eu farei outro vídeo onde eu resolvo vários problemas. E no processo eu vou explicar um pouco mais sobre magnetismo. E assim, tiraremos o produto vetorial de várias coisas. E esperamos que você ache isso tudo um pouco mais intuitivo. Vejo você em breve. Até lá!