Capacitância

RKA4JL - Vimos há alguns vídeos que se tivermos uma placa infinita, uniformemente carregada (eu vou desenhar uma aqui), o campo elétrico gerado pela placa é constante. Vamos supor que esta aqui esteja uniformemente carregada com cargas positivas (não vou desenhar infinito, eu já explico o porquê), e os vetores campo elétrico vão aparecer aqui, todos iguais. E também vimos que a intensidade do campo, indicada por E, é igual a 2 vezes K, que é a constante eletrostática, vezes π, vezes a densidade de carga, indicada por σ (sigma). Vamos lembrar o que é a densidade de carga. A densidade de carga, σ, nada mais é que o valor total da carga, indicada por Q, dividido pela área onde estamos produzindo o campo elétrico. σ é igual a carga por área. Veja que aqui eu havia suposto antes um campo, uma placa infinita para gerar o campo elétrico. E se a placa é infinita, quer dizer que a área é infinita. E para que a densidade de carga seja constante, então ela também teria que ser um valor infinito, ou seja, é muito difícil trabalhar com esses números, supondo que eles sejam infinitos. Mas se nós tivermos aqui uma área em um plano que seja finito, portanto, área finita, nas proximidades do centro desse plano nós podemos considerar o campo elétrico como uniforme. Com isso, vamos tentar analisar algumas propriedades do potencial elétrico e de como o potencial elétrico e carga elétrica se relacionam nesta situação. Para estudar isso, vamos supor agora duas placas paralelas. Eu vou desenhá-las com tamanhos iguais, portanto as duas com a mesma área, que indicamos por A. Vamos considerar que esta placa de baixo está carregada positivamente. Vamos indicar a carga dela por +Q. Isso significa que eu teria várias cargas positivas. Aqui eu poderia desenhar vários sinais de "mais", mas o +Q vai resumir isso tudo para nós. E vamos supor que a carga aqui de cima, em lilás, tenha carga -Q, ou seja, negativamente carregada. Como vai ser o campo elétrico gerado entre essas duas placas? Vai ser uma combinação do campo elétrico gerado pela placa lilás com o campo elétrico gerado por esta outra placa verde. Lembre-se de que ambos os campos vão ser constantes próximos ao centro, e lembrando que eles estão separados por uma distância "d" suficientemente pequena. A placa verde vai, então, gerar um campo, um campo de afastamento, porque ela é positiva, lembre-se disso. Assim. Próximo ao centro, nós teremos um campo constante. Vou desenhar os vetores e, claro, todos devem ter o mesmo tamanho. Conforme nós vamos nos distanciando do centro, as linhas do campo elétrico começam a circular. Próximos ao centro são constantes, e conforme vamos nos afastando do centro, temos linhas curvas. A mesma coisa aqui. Do mesmo modo para a placa lilás, só que para ela temos um campo de aproximação, dado que a placa é carregada negativamente. Teríamos, então, próximo ao centro, o campo elétrico constante. Afastando-se do centro, as linhas vão se curvando. Mas dado que as duas placas têm cargas de mesma magnitude, as linhas são de mesmo tamanho, os vetores têm o mesmo tamanho. A ideia, portanto, é que entre as duas placas nós teremos o dobro de carga elétrica do que teríamos com apenas uma placa. Vamos, então, tentar obter uma relação entre a diferença de potencial e as cargas que existem aqui entre as placas, e talvez a distância entre elas também. Vamos escrever o campo elétrico gerado pela placa verde, que está positivamente carregada. Usando esta definição, claro, pensando nas proximidades do centro da placa em que o campo elétrico é uniforme, o campo elétrico gerado pela placa verde é 2 vezes K, vezes π, vezes σ, mas σ é Q dividido por A, então aqui teremos Q sobre A. Essa é a intensidade do campo elétrico gerado pela placa verde. O campo elétrico, agora gerado pela placa lilás, tem a mesma intensidade do campo elétrico gerado pela placa verde, porque as cargas têm a mesma intensidade, e nós podemos juntar os dois. Observe que aqui nós temos o campo elétrico gerado pela placa verde, mas agora o campo elétrico gerado pela placa lilás também é 2Kπ vezes σ, que é Q sobre A. Observe: os campos elétricos das duas placas têm a mesma direção e o mesmo sentido, então estou somando os dois porque os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Se fôssemos considerar os sinais, o Q da placa lilás é negativo, porém eu também teria que usar um sinal negativo para calcular o campo elétrico e "menos" com "menos", temos aqui um "mais". Efetuando essa adição nós temos como resultado, então, 4Kπ Q sobre A, que é o campo elétrico gerado pelas duas placas. Vamos agora olhar para a diferença de potencial elétrico entre dois pontos, um em cada placa, por exemplo, entre este ponto e esse ponto aqui. Mas, primeiro, precisamos nos lembrar do que é o potencial elétrico. A diferença de potencial elétrico entre esses dois pontos é a quantidade de energia potencial elétrica necessária por carga positiva para levar uma carga daqui até aqui. Qual vai ser, então, o aumento de energia potencial elétrica por carga para uma carga colocada aqui em relação a esta outra posição? Vamos supor que estamos colocando aqui uma carga de prova positiva, e nós sempre utilizamos cargas de prova positivas como referência, e uma carga positiva colocada aqui vai querer dirigir-se à carga de sinal oposto, ou seja, à placa que está negativamente carregada. Vamos estudar mais para frente que a maioria dos movimentos se dá pelos elétrons, que são cargas negativas, falando em termos de eletricidade eletrônica. Mas vamos supor que temos aqui um íon positivo ou, de alguma forma, uma carga positiva. Ela vai querer se afastar do campo gerado por uma carga positiva e ir em sentido, ao encontro da carga negativa. Se entre as placas nós tivéssemos vácuo, seria muito difícil a partícula, por exemplo, se mover da placa verde para a placa lilás. Mas se eu ligasse um fio daqui até aqui, as partículas poderiam se mover por ele. E o que nós vamos medir em termos de potencial elétrico, de diferença de potencial elétrico, é a tendência de uma partícula positiva sair daqui e ir para outro ponto. Se nós tivéssemos dois pontos com o mesmo potencial, a partícula não se moveria de um ponto para outro. Nós poderíamos fazer uma analogia com a pressão: você pode imaginar isto como sendo a pressão elétrica. Mas voltando aqui, sabemos que o campo elétrico total que temos está indicado por esta expressão, 4Kπ vezes Q sobre A, e o que nós vamos investigar agora é qual o potencial elétrico neste ponto em relação a este outro ponto. Para saber a diferença de potencial entre esses dois pontos, então eu vou olhar para o trabalho realizado pela força que faz com que uma partícula saia daqui e venha para este outro ponto, por unidade de carga. Primeiro, vamos pensar no trabalho realizado pela força que levaria uma partícula daqui até aqui. Bem, você deve se lembrar de que o trabalho realizado por uma força é igual à intensidade da força vezes o deslocamento, já que eles estão na mesma direção e mesmo sentido. Ao colocar uma partícula aqui para deslocar-se para cá, a força é a força elétrica, e ela é calculada multiplicando a carga da partícula pelo campo elétrico ali naquele ponto. Vamos supor uma partícula de um coulomb de carga e multiplicando o campo elétrico (isto aqui é a força elétrica sobre a partícula que está aqui), vezes a distância "d", vai dar o trabalho dessa força. Observe aqui: coulomb vezes o campo elétrico é medido em newton por coulomb. Cancelando o coulomb fica newton que é, portanto, a força que age sobre a partícula. Resumindo isso tudo aqui: para uma carga de prova positiva de um coulomb, o trabalho da força elétrica para fazer com que ela se desloque de um ponto para o outro vai ser obtido simplesmente fazendo o campo elétrico vezes a distância, e isso medido em joules. Para estudar a diferença de potencial, vamos analisar, vamos chamar este ponto de A e este de B, e nós queremos a diferença de potencial entre eles. Vamos considerar aqui. Vamos combinar que Va é o potencial elétrico em A, Vb é o potencial elétrico em B e a diferença entre eles é Va menos Vb, naturalmente. E isso, a diferença de potencial, vai ser justamente a energia potencial elétrica por unidade de carga para o movimento que estamos analisando na partícula entre A e B. O trabalho feito, a energia transferida pela força que vai deslocar essa partícula está aqui, é E vezes "d". Então, aqui nós teríamos que obter E vezes d, que é o trabalho realizado pela força dividido pela carga elétrica. Mas a carga elétrica da carga de prova que nós usamos aqui era de 1 coulomb, então dividindo por 1 teremos como resultado Ed. Qualquer valor para carga que colocasse aqui, eu dividiria e cancelaria de qualquer forma. A unidade aqui é joules por coulomb e joules por coulomb você já estudou e sabe que é volt. Vamos, agora, voltar às informações que nós temos. A diferença de potencial (vamos indicar por ∆V, que seria exatamente isto que temos aqui), é igual ao campo elétrico multiplicando a distância entre as placas. O campo elétrico nós já temos aqui. Portanto, nós teremos 4Kπ Q sobre A multiplicando a distância entre as placas. Se eu manipular um pouquinho esta expressão e isolar Q, isolar a carga, eu vou ficar com Q igual a A sobre 4Kπd multiplicando a diferença de potencial. Por que fizemos esse procedimento? Observe que na situação que nós estamos analisando a área das placas é o valor constante. 4Kπ também é um valor constante. Vamos considerar também que estamos trabalhando em uma situação em que a distância entre a placa, ou entre as placas, também é constante. Qual é a conclusão que isso nos traz? Simplesmente o fato de que isto tudo é constante, então Q é igual a uma constante multiplicando a diferença de potencial. Em outras palavras, Q e diferença de potencial são diretamente proporcionais. Este fator que multiplica a diferença de potencial é chamado de capacidade elétrica. Mais um pouquinho de manipulação matemática... Se eu resolver dividir os dois lados desta igualdade pela diferença de potencial eu teria Q dividido pelo ∆V igual a 1 sobre 4Kπ vezes a área sobre a distância entre as placas. O que isso significa? Isso nos mostra que sendo a área constante e a distância entre as placas constante, que são as características que definem o nosso elemento estudado, eu consigo, conhecendo a carga, determinar a diferença de potencial entre as placas e vice-versa, conhecendo a diferença de potencial entre as placas, calcular a carga, considerando também +Q e -Q como cargas das placas. De novo, nós temos aqui o que já chamamos de capacidade elétrica e ela é medida por uma unidade chamada "farad". Se você se decidir por estudar a engenharia elétrica e seus ramos, isto é algo que vai se tornar muito familiar. Para que você se familiarize ainda um pouco mais com essas informações, este fator, 1 sobre 4Kπ, é o que se chama permissividade elétrica, indicada normalmente pela letra grega ε (épsilon) com zero. ε0 é a permissividade elétrica do vácuo. O que nós fizemos aqui é obter um modo de calcular a diferença de potencial entre as placas de um elemento chamado capacitor, que tenha uma certa capacidade elétrica, uma característica dele. Também é importante que você comece a enxergar a diferença de potencial elétrica como, entre aspas, uma "pressão elétrica". Para cada configuração desse elemento chamado capacitor temos uma capacidade elétrica. E se eu conheço a capacidade elétrica e a carga das placas, eu conheço a diferença de potencial entre elas. Ou conhecendo a diferença de potencial, posso calcular a carga das placas. Até o próximo vídeo!