Visualizar a expansão de Fourier de uma onda quadrada

RKA2JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. Nesta aula, vamos conversar sobre a expansão de Fourier para uma onda quadrada. Nós estamos aqui uma onda quadrada que possui um período igual a 2π. Mas a pergunta a se fazer aqui é: como podemos representar isso? Podemos representar através de uma série infinita de senos e cossenos ponderados. Aí, podemos trabalhar a partir dessa ideia para encontrar expressões para os coeficientes, ou seja, para a₀, para aₙ, que é quando "n" não é igual a zero, e também para bₙ. Avaliando isso para uma onda quadrada particular, somos capazes de dizer que a₀ = 3/2 e que aₙ = 0 para qualquer "n" diferente de zero. Também podemos dizer que bₙ vai ser igual a zero se "n" for par, e 6/nπ, se "n" for ímpar. Enfim, uma maneira de pensar sobre isso é que a₀ não vai ter nenhum dos termos do cosseno, e com bₙ teremos apenas os termos senoidais ímpares. Se você pensar sobre isso apenas visualmente, se você olhar na onda quadrada, faz sentido que a gente tenha apenas os senos e não os cossenos. Porque uma função seno vai ser parecida com isto, enquanto que uma função cosseno se parece com algo assim. O cosseno de "t" e os demais cossenos, como, por exemplo, o cosseno de 2t, o cosseno de 3t, vão ficar fora de fase. Enquanto que o seno de "t" e os demais senos de "t", incluindo o seno de 2t, o seno de 3t, vão estar em fase de acordo com o que esta função formou. Portanto, faz sentido que os nossos aₙ sejam todos iguais a zero para "n" diferente de zero. Sendo assim, com base no que encontramos para o nosso a₀ e para os aₙ e bₙ, nós podemos expandir isto aqui, que é a série de Fourier. E como isso se parece? Temos aqui: 3/2 mais 6/π, vezes sen(t), mais 6/3π vezes sen(3t), mais 6/5π vezes sen(5t) e assim por diante. Você pode ficar curioso sobre como isso realmente se parece. Na verdade, se você digitar estas coisas no Google, ele vai esboçar um gráfico para você. Sabendo disso, eu plotei aqui um gráfico com apenas os dois primeiros termos. Isto é, 3/2 + 6/π vezes sen(t). Perceba que isto aqui começa a se parecer com a nossa onda quadrada. A onda quadrada vai ser mais ou menos assim. Teremos aqui algo na horizontal, depois cai e vai até zero, depois vai na horizontal assim e depois vai para cima novamente. Algo mais ou menos desta forma. Não tem "π" e "2π" marcado entre estes aqui porque vai ser algo mais ou menos deste jeito. Portanto, mesmo com apenas os dois termos, temos uma aproximação decente. Se você adicionar 6/3π vezes sen(3t) aos dois primeiros termos, teremos algo assim. Repare que agora está se parecendo muito mais com uma onda quadrada. Se você adicionar o próximo termo, vai se parecer ainda mais com uma onda quadrada. E se você adicionar a isto que já escrevemos aqui: 6/7π vezes sen(7t), teremos algo que vai se parecer ainda mais com uma onda quadrada. Você pode ver visualmente que fomos capazes de fazer isso, que tudo meio que saiu da matemática. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!