Generalização com coeficientes binomiais (um pouco avançado)

RKA3JV No último vídeo, eu calculei a probabilidade de tirarmos exatamente 3 caras se jogarmos uma moeda honesta 5 vezes, 5 lances de uma mesma moeda honesta. O que eu vou fazer neste vídeo é pensar de uma maneira mais generalizada. Ainda terei a moeda honesta, mas logo você vai ver que isso não é necessário. Mas, o que eu quero calcular aqui é a probabilidade "P" de eu ter "k" caras em "n" lances da moeda honesta. E a primeira coisa que nós vamos fazer aqui é pensar em quantas possibilidades há. Eu vou ter "n" lances de moeda, eu vou lançar a moeda "n" vezes. Então, literalmente vai ser 1, 2, 3, 4... até a jogada "n". E para cada uma dessas jogadas aqui eu vou ter duas possibilidades, sim ou não? Então, eu vou ter 2 vezes 2, vezes 2, vezes 2, etc. Eu vou multiplicar tudo isso aqui até chegar no enésimo 2. E isso, logicamente, vai ser igual a 2 elevado a "n", ou seja, 2 elevado a "n" possibilidades. Agora, vamos pensar na quantidade de possibilidades que isso aqui vai dar "k" caras. É uma moeda honesta, então, cara ou coroa têm a mesma quantidade de chances de aparecer. Eu quero saber quantas vezes "k" caras vai aparecer aqui. E, exatamente, como nós fizemos aqui no caso das 3 caras aqui em cima, eu vou também fazer da seguinte maneira aqui embaixo, olha só! Pois bem, a primeira das "k" caras tem "n" possibilidade de sair dentro deste conjunto aqui, sim ou não? Portanto, "n" possibilidades. E a segunda das "k" caras tem (n - 1) possibilidades, sim ou não? Eu já vou ter eliminado uma, já que eu coloquei uma das caras. Portanto, eu posso multiplicar isso aqui por (n - 1) possibilidades. A terceira das "k" caras vai ter (n - 2) possibilidades, é ou, não é? E se a gente continuar com esse raciocínio, o número de elementos aqui que eu vou multiplicar vai ser igual a "k", sim ou não? Já que eu tenho "k" caras. Eu vou ter aqui a primeira das "k" caras, a segunda, a terceira, a quarta até o número "k". E lá, o último desses fatores vai ser [n - (k -1)], é ou não é? E aí você já pode pensar no caso onde n = 5 e k = 3, o exercício anterior que nós fizemos. Portanto, aqui nós vamos ter 5 vezes 4, vezes 3. Este 3, no caso, vai ser nosso último fator. Eu fiz esta parte de cima um pouco mais longa. Mas, aqui como eu tenho apenas 3 caras, são estes 3 fatores. Então, só para não te confundir, por que eu fiz um pouco além do necessário, só para não confundir, a gente vai ter o seguinte, "n" vai ser "n" possibilidades para a primeira cara, (n - 1) segunda possibilidade. Depois, eu vou multiplicar por um monte de outros fatores, até chegar na cara número "k". E lá na cara número "k" vai ser [n - (k - 1)], certo? E agora vai ficar mais simples para entender o exemplo que eu dei de 5 jogadas, 5 lances de moeda e 3 caras. Portanto, aqui eu vou ter 5 vezes 4, vezes, como o "n" aqui é 5, então, eu vou ter 5 - 2, isso vai ser igual a 3. Portanto, 3 aqui. Isso aqui que nós estamos calculando é a quantidade de maneiras que eu posso colocar 3 caras em 5 espaços vazios, certo? E só para gente não contar além do que é necessário, eu não quero diferenciar, por exemplo, não importando a ordem. Então, eu não quero diferenciar a cara "a", que eu denominei "Ha", a cara "b", que eu denominei "Hb", e a cara "c" que eu denominei "Hc", por exemplo. E para mim essa disposição, por exemplo, vai ser a mesma desta aqui, "Hc", "Ha" e "Hb". Para mim é a mesma coisa. Então, o que nós temos que fazer aqui é dividir todo este número aqui, a gente não está se importando com a ordem. Aí eu vou dividir pelo número de maneiras que eu posso ordenar "k" coisas. E aí, de quantas maneiras diferentes eu possa ordenar "k" coisas? Eu vou chamar de coisa número 1. A coisa número 1 de "T1", a coisa número 2 eu vou chamar de "T2", a coisa número 3 de "T3" e assim por diante, até a coisa número "k" que eu vou chamar de "Tk". E aí é o seguinte, eu tenho "k" possibilidades para escolher para coisa 1. Eu tenho k - 1 possibilidades para escolher para a coisa 2, k - 2 para a coisa 3, até a última coisa que é a coisa "k" que vou ter apenas uma posição para ela, não é? Portanto, aqui eu vou ter que dividir por "k", vezes (k - 1), vezes (k - 2) até chegar na multiplicação por 1. No caso deste nosso exemplo, nós fizemos 3 vezes 2, vezes 1. Mas, será que tem alguma maneira mais fácil para a gente escrever essa expressão? Repara só, essa expressão aqui é a mesma coisa que "k" fatorial (k!). E se você nunca ouviu falar em fatorial, não sabe o que é, é literalmente isso aqui. "k" fatorial é a mesma coisa que "k" vezes (k - 1), vezes (k - 2)... até vezes 1. Então, só para gente ter como exemplo, 2 fatorial é a mesma coisa que 2 vezes 1. 3 fatorial é a mesma coisa que 3 vezes 2, vezes 1, está claro? 4 fatorial é a mesma coisa que 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1. Isso aqui é uma coisa legal para se fazer, porque os fatoriais crescem muito, muito, muito rápido. Portanto, o que nós deduzimos aqui é que este denominador pode ser escrito como "k" fatorial. E agora, será que dá para escrever este numerador de maneira que eu tenha fatoriais? Vamos ver! Ora, eu posso escrever o "n" fatorial, por exemplo, deixe-me ver como é que ficaria "n" fatorial. deixe-me colocar aqui mais para baixo um pouquinho, "n" fatorial seria a mesma coisa que "n" vezes (n - 1), vezes (n - 2), até o vezes 1 também. Então, já é mais ou menos o que a gente quer. Só que a única coisa que a gente está restringindo aqui é que eu quero os primeiros "k" deste "n" fatorial. Logo, eu posso, por exemplo, dividir este "n" fatorial por (n - k) fatorial. Vamos ver quanto isso vai dar. Pois bem, (n - k) fatorial, vamos fazer um pouquinho de álgebra aqui deste lado da igualdade. (n - k) fatorial vai ser a mesma coisa que (n - k) vezes (n - k) - 1, certo? Ainda posso multiplicar aqui por (n - k - 2), até o 1. Certo? E aqui se você observar a matemática da coisa, este 1 vai ser simplificado, e tudo isso daqui também vai ser simplificado com os numeradores desta expressão aqui em cima. Por que vai simplificar? Olha só, se eu fizer a regra do sinal aqui, eliminar os parênteses, eu vou ter (n - k + 1), sim ou não? Este "-k", este menos com este menos fica +1. Então, (n - k + 1). Portanto, eu vou simplificar tudo, até este (n - k + 1), já que eu tenho aqui o (n - k) e o (n - k +1) é uma unidade a mais que este número aqui. Portanto, se eu for simplificar, eu vou simplificar isso aqui com alguma coisa aqui no caminho. Isso aqui também vai simplificar, isso aqui também, e tudo vai simplificar. E o que vai me sobrar é exatamente esta expressão aqui do numerador, certo? Você ainda não acredita em mim? Ora, vamos testar, vamos fazer para o n = 5. Para aquele nosso exemplo, n = 5, k = 3. Olha só, 5! / (5-3)! Vamos ver quanto isso vai dar. Ora, isso aqui vai ser a mesma coisa que 5 vezes 4, vezes 3, vezes 2, vezes 1 aqui no numerador. E o denominador vai ser (5 - 3)!, ou seja, 2!, que é a mesma coisa que 2 vezes 1. E aqui eu posso simplificar este 2 com este 2, o 1 também, não vai mudar nada, mas eu simplifiquei. E o que eu fico aqui de resposta é exatamente 5 vezes 4, vezes 3, que é exatamente o que eu obtive aqui em cima, 5 vezes 4, vezes 3, sim ou não? Portanto, digamos que você queira organizar alguma coisa em 5 cadeiras, 3 coisas em 5 cadeiras. E você não se importa em diferenciar essas coisas. A quantidade de possibilidades que você vai ter é exatamente essa expressão aqui. Que, por sua vez, como a gente acabou de ver, é exatamente isso aqui. Ou seja, n! / (n - k)!. E aí como você pode perceber aqui também, eu ainda estou dividindo por k!, ou seja, eu divido esta expressão por k! também. E essa aqui é a fórmula geral para um coeficiente binomial. Isso aqui vai ser a mesma coisa que a combinação de "n" elementos tomados "k" a "k". Ou ainda, eu posso escrever assim (nk). Ou seja, aqui eu teria "n" espaços e eu quero preencher com "k" caras, certo? Então, estas três maneiras aqui eu posso usar para descrever um coeficiente binomial. Então, voltando ao nosso problema original, qual é a probabilidade de se obter "k" caras em "n" lances de uma moeda honesta? Bom, como a gente já viu aqui, tem 2 elevado a "n" possibilidades iguais de isso acontecer, não é? Ou seja, de eu jogar uma moeda honesta e obter cara ou coroa. São 2 elevada "n" possibilidades. Então, vamos escrever isto aqui. Eu tenho, então, 2 elevado a "n" possibilidades. E para eu obter exatamente "k" quantidade de caras? Ora, a gente acabou de determinar aqui. É isso aqui, certo? Ou seja, eu vou ter n! / k! (n - K)! Ou seja, para mim é até ok você gravar essa fórmula aqui, mas o que eu gosto de fazer nos vídeos é, sempre, e também quando eu vou fazer exercício, é sempre tentar deduzir essas fórmulas, que é muito legal, não é? Então, na hora que eu vou calcular essa quantidade de coisas que eu quero calcular, eu faço deste jeito aqui. Beleza? Então, é isso! Nós nos vemos no próximo vídeo!