Probabilidade condicional e combinações

RKA4JL - Agora vamos fazer um problema que envolve quase tudo o que nós aprendemos sobre probabilidade, combinações e probabilidade condicional. Então, vamos dizer que eu tenha uma sacola, por exemplo, e dentro dessa sacola eu tenho cinco moedas honestas. Então cinco honestas, certo? E também tenho dez desonestas. Dez moedas desonestas. É claro que as cinco moedas honestas têm 50% de chance de ter cara ou coroa como resultado. E as dez desonestas, digamos que tenham 80% de chance de sair cara. Vou determinar como "ca" aqui. E outros 20% de chance de sair coroa. Eu estou denominando como "co". E a questão que eu faço para você é a seguinte: eu fecho meus olhos, coloco minha mão dentro dessa sacola, tiro uma moeda e a lanço seis vezes. E nessas seis vezes que eu joguei, eu consegui como resultado quatro caras em seis jogadas diferentes. Então, foram quatro em seis caras. Certo? Em quatro sextos das jogadas saíram cara. E o que eu quero saber, então, é: qual é a probabilidade de eu ter tirado uma moeda honesta, dado que saíram 4/6 de caras? E antes de começar a resolver, vamos fazer uma revisão sobre o teorema de Bayes, que vai ser importante na solução deste problema. E o teorema de Bayes diz o seguinte: ele diz que a probabilidade de "A" e "B" acontecer, aqui eu tenho uma interseção entre os eventos do "A" e do "B", e isso aqui vai ser igual a probabilidade do "A" ocorrer, dado o "B", multiplicado pela probabilidade do "B". E isso também é a mesma coisa que a probabilidade do "B" ocorrer, dado "A", multiplicado pela probabilidade do "A". Eu espero que você tenha uma certa intuição sobre isso, e se não tiver, assista aos outros vídeos sobre a probabilidade condicional. E aí, eu posso reescrever o que eu fiz aqui em cima da seguinte maneira: a probabilidade do "A" ocorrer, dado "B", vai ser igual, se eu dividir ambos os lados pela probabilidade de "B", isso vai ser igual a probabilidade do "B" ocorrer, dado "A", multiplicado pela probabilidade do "A" e tudo isso dividido pela probabilidade do "B". Certo? Dividi ambos os lados pela probabilidade do "B", no caso, considerando essas duas expressões aqui como iguais uma a outra, certo? E no caso do problema que a gente está resolvendo, o nosso "A" vai ser a escolha da moeda honesta, então, o "A" é a escolha da honesta, vou colocar escolha honesta aqui, e o "B", nosso "B" vai ser o quê? Vai ser o resultado que obtive, quatro sextos de cara. Então, 4/6 caras. E agora, para eu poder calcular a probabilidade de eu ter escolhido uma moeda honesta, dado que saiu 4/6 de caras, eu vou ter que calcular a probabilidade de sair 4/6 de caras, dado que eu peguei uma moeda honesta, multiplicar pela probabilidade de eu escolher uma moeda honesta e tudo isso dividido pela probabilidade de eu tirar 4/6 de caras, no geral. E é bem provável que essa parte de baixo seja a parte mais complicada para a gente fazer, a gente vai descobrir, no decorrer do vídeo, assim como nós vamos descobrir também esses dois termos aqui de cima. Vamos lá. Ora, aqui é o seguinte: vamos começar a calcular. Quando coloquei a mão lá naquela sacola e retirei uma moeda, eu tinha cinco possibilidades em quinze de tirar uma moeda honesta e isso é a mesma coisa que um terço, sim ou não? Então, 1/3 de chance de tirar uma moeda honesta. Logo, vou ter 2/3 de chances de tirar uma moeda desonesta. E agora, aqui é o seguinte: dado que eu tirei uma moeda honesta, qual é a probabilidade de sair 4/6 de caras? A quanto isso aqui vai ser igual? Ora, aqui eu poderia ter algumas combinações. Digamos que eu tirei cara, depois coroa, depois cara, depois coroa e depois duas caras. Cara e cara, quatro caras em seis. Eu poderia também ter outra combinação aqui. Digamos que tenho tirado cara nas quatro primeiras jogadas, cara, cara, cara, cara, e depois coroa nas outras duas. Bem, como dá para perceber, vai ter um monte de combinações possíveis e eu vou usar aqui os coeficientes binomiais para me ajudar a calcular qual é essa probabilidade. Eu quero saber primeiro aqui, então, quais são as chances de eu tirar cada uma dessas combinações aqui. Ora, eu tenho 50% de chances de ter cara aqui, e 50% de coroa, 50% de cara, 50% de coroa, e assim por diante. Ou seja, eu vou multiplicar essas possibilidades meio, vezes meio, vezes meio, por seis vezes, sim ou não? E aqui embaixo, também. Ou seja, em cada uma das situações eu tenho ½⁶, já que eu estou multiplicando ½ por ele próprio 6 vezes. Meio, vezes meio, vezes meio, vezes meio, vezes meio, vezes meio, sim ou não? Essa daqui vai ser a probabilidade de cada uma dessas combinações aqui ocorrer, certo? E agora é o seguinte: quantas combinações possíveis eu tenho de jogar uma moeda seis vezes e obter quatro caras e duas coroas? Ora, para calcular isso, esse número de combinações possíveis, basta que eu use aquele coeficiente binomial, sim ou não? Então, eu quero calcular em seis jogadas quais são as combinações possíveis de eu ter quatro caras. Isso aqui, não é? E aí, basta eu multiplicar por isso aqui que eu determinei anteriormente, não é? Por ½⁶. E isso aqui vai ser igual a quanto? Ora, se de 6 elementos eu quero que saiam 4 caras, isso será igual a 6 fatorial sobre 4 fatorial, vezes 6, menos 4 fatorial, que vai dar 2 fatorial, sim ou não? Então, 2 fatorial aqui. E tudo isso ainda multiplicado por ½⁶. Isso aqui vai ser igual a quanto? (Deixe-me só trocar a cor para acabar com a monotonia). Isso vai ser igual a 6 fatorial, que é 6 vezes 5, vezes 4, vezes 3, vezes 2 e ainda posso multiplicar por 1 aqui embaixo, não é? Tudo isso sobre 4 fatorial, que é a mesma coisa que 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1 vezes 2 fatorial, que é a mesma coisa que 2 vezes 1. Isso aqui, então, que é equivalente a isso aqui em cima, quanto vai dar? Ora, esse 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1 eu posso simplificar com esse 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1, sim ou não? E o 6 eu posso simplificar com 2. Vai dar 3 aqui, não é? Então, 3 vezes 5 vai dar 15. Logo... Ainda tenho que multiplicar aqui por ½, não é? Tenho que multiplicar por ½⁶. Isso aqui, então, vai ser igual a quanto? Vai ser igual a 15 vezes isso aqui, ½⁶. ½⁶ vai ser 1 sobre 64. Logo, quando eu multiplicar 15 por 1/64, isso vai dar 15/64, certo? Portanto, a probabilidade de eu conseguir 4/6 de caras com uma moeda honesta vai ser igual a 15/64. Ou seja, isso aqui vai ser igual àquela probabilidade de conseguir 4/6 de cara, dado que eu tenho uma moeda honesta, sim ou não? Aí se você olhar aqui, para essa definição que eu dei aqui em cima, essa aqui vai ser a probabilidade de "B", dado o "A", sim ou não? Já que o nosso "B" aqui vai ser 4/6 de caras e o "A" vai ser a moeda honesta. Então, 4/6 de caras, dado que eu tenho uma moeda honesta. Pois bem, agora eu quero calcular qual é a probabilidade de conseguir 4/6 de caras dado que eu tirei uma moeda desonesta, porque eu posso ter tirado uma moeda honesta ou uma desonesta. Acabei de calcular aqui para a moeda honesta, agora vou calcular para desonesta também. Vamos lá. Então, digamos que eu tenha a seguinte combinação aqui, para iniciar nossa conversa: digamos que eu tirei cara, depois coroa, depois cara, depois coroa, cara e cara. Ora, aqui eu não tenho metade de chance de tirar cara e metade chance de tirar coroa, não é? Pois eu disse aqui em cima que essa moeda é desonesta, ela sai 80% das vezes cara e 20% das vezes coroa. Logo, eu vou fazer 0,8 vezes 0,2, porque 0,8 é a probabilidade de caras e 0,2 de coroas, vezes 0,8, vezes 0,2, vezes 0,8, vezes 0,8. Vai ser isso aqui, não é? Logo, se eu reorganizar essa multiplicação e aplicar a propriedade comutativa, na qual a ordem dos fatores não altera o produto, eu vou ter o seguinte: vou ter que 0,8⁴, a quarta potência, já que eu tenho quatro vezes uma multiplicação de 0,8 por ele próprio, vezes 0,2². E aí, qualquer uma das outras combinações, é claro, vai ter essa mesma probabilidade de ocorrer já que é apenas uma permutação dessa combinação aqui, certo? E quantas combinações iguais a essa aqui, com quatro caras e duas coroas, existem? Então, digamos que nós somos aqui o deus da probabilidade e a gente está falando que a cada seis lances da moeda, eu consegui quatro caras e duas coroas. Ora, o número de combinações possíveis disso aqui, que a gente acabou de calcular, vai ser a mesma coisa que a gente fez ali, anteriormente: vai ser seis para tirar quatro caras, seis lances e tirar quatro caras. Quanto vai dar isso? Ora, como nós calculamos anteriormente, isso aqui, 6 elementos tomados quatro a quatro, vai dar quanto? Vai dar 15. Aqui, deu 15. Então, isso vai ser 15 vezes 0,8⁴, vezes 0,2². E essa daqui vai ser a probabilidade de eu tirar 4/6 de caras, dado que eu tirei uma moeda desonesta, beleza? Então, no geral, qual vai ser a probabilidade de eu conseguir 4/6 de caras, dado que posso tirar uma moeda honesta ou moeda desonesta? Vai ser o seguinte. Olha só: isso vai ser 1/3, que é a probabilidade de eu pegar uma moeda honesta, vezes a probabilidade de eu conseguir com uma moeda honesta 4/6 de caras, que nós calculamos aqui, 15 sobre 64, mais a probabilidade de eu tirar uma moeda desonesta, que é 2/3, vezes a probabilidade de acontecer 4/6 de caras nessa situação, que é isso aqui, não é? Ou seja, 15 vezes 0,8⁴, vezes 0,2². É isso? Ora, isso aqui vai ser igual a quanto? Vamos lá. Eu posso simplificar o 15 com o 3. Aqui vai dar 5, então 5/64. Para mim já está bom assim. Aqui eu simplifico também o 3 com o 15, no caso aqui vai dar 5. 5 vezes 2 é 10. Agora, vou calcular quanto vai ser 0,8⁴. Vamos usar a calculadora. 0,8⁴. Isso vai ser igual, isso deu igual a 0,4096. E como eu ainda estou multiplicando isso por 0,2², vou multiplicar novamente. Vou pegar a resposta anterior, "answer" em inglês, e vou multiplicar por 0,2². Isso aqui deu, então, 0,016384. E aí, como nós estamos ainda multiplicando por 10, 2 vezes 5, vou multiplicar isso tudo por 10. Então, a resposta anterior vezes 10 vai ser igual a 0,16384. E ainda, eu preciso fazer mais uma conta, porque eu estou adicionando tudo isso a 5/64. Então, vamos lá. Vou pegar a resposta anterior e somar com 5 (deixe-me colocar um parênteses aqui). Então, estou somando com 5 dividido por 64. Quanto vai dar isso? Olha lá, 0,241965, ou seja, essa aqui vai ser a probabilidade de a gente conseguir 4/6 de caras, dado que eu tirei uma moeda honesta ou uma desonesta, quando eu combino essas duas probabilidades, sim ou não? Então, vamos escrever isso (escrever isso com uma cor diferente). Isso deu 0,24 alguma coisa, não é? Isso vai ser 24%, já que eu vou multiplicar por cem para ter a porcentagem, não é? Eu só vou colocar a precisão ideal aqui, a precisão total, para facilitar os nossos cálculos depois. Então, 24,1965%. Beleza. Logo, esse resultado aqui vai ser a probabilidade do "B", esse denominador que a gente falou seria o mais difícil calcular. Está aqui, está calculado. Agora eu vou apagar toda essa conta que eu fiz aqui, não é? Agora, deixe-me apagar isso daqui. Não quero apagar tudo. Vou apagar só um pedaço aqui, só para ter mais espaço para a gente escrever. Então, como a gente acabou de fazer, o teorema de Bayes, não é? Deixe-me apagar só para a gente continuar os cálculos. Beleza. Pois bem. Isso daqui tudo, olha só, veja se não será isso aqui. Isso vai ser igual a quê? Vai ser igual à probabilidade do "B", dado "A"... O que é o "B"? É a gente conseguir 4/6 de caras, dado que eu peguei uma moeda honesta, vezes a probabilidade do "A". O que é o "A"? É o que eu peguei, a moeda honesta, não é? A probabilidade de eu ter pego uma moeda honesta. Tudo isso dividido pela probabilidade do "B", de eu tirar 4/6 de caras no geral, certo? Pois bem. Isso aqui vai ser igual ao seguinte: essa primeira probabilidade nós calculamos aqui e deu 15 sobre 64. Então, 15 sobre 64 vezes a probabilidade do "A". Então, qual é a probabilidade de eu pegar uma moeda honesta? São cinco moedas em quinze. Isso vai dar um terço. Então, vezes 1/3, não é? Tudo isso sobre a probabilidade do "B" de conseguir 4/6 de caras no geral, que nós calculamos aqui embaixo. Isso vai ser a mesma coisa que 0,241965, certo? Isso aqui vai ser igual... Simplificando, 15 com 3 vai dar 5 sobre 64. 5 sobre 64, sobre 0,241965. Quando vai dar isso, então? Pois bem, vamos usar a calculadora novamente. Deixe-me ligá-la. Isso vai ser igual ao seguinte (deixe-me limpar tudo): Então, vou ter 5 dividido por 64, que ainda está dividido por 0,241965, isso vai ser igual a, aproximadamente... Eu posso arredondar isso aqui para uma porcentagem, que vai ser 32,3%, sim ou não? Então, vou escrever aqui. Isso vai ser igual, aproximadamente igual, a 32,3%. Olha, que legal. Isso quer dizer que eu tenho, aproximadamente, 1/3 de chance de conseguir tirar 4/6 de cara. Esse resultado aqui é relativamente surpreendente, porque ele me diz o seguinte: que eu tenho pouco menos de 1/3 de chance de, pegando uma moeda honesta, tirar 4/6 de caras, sim ou não? Isso aqui faz sentido, não é? Porque, olhe só: no mundo da probabilidade, como eu tenho cinco moedas honestas e dez desonestas, e na desonesta eu tenho 80% de chance de ter caras, isso aqui está me dizendo que eu tenho 1/3 de chance, caso eu pegue uma moeda honesta, de ter 4/6 de caras, de mais caras do que coroas. Ou seja, eu tenho mais de 2/3 de chance de pegar uma moeda desonesta, e então sair quatro caras em seis lances possíveis. E, na verdade, deixe-me dar um pouco de intuição para você através da teoria dos conjuntos, desenhando. Acho que fica mais fácil de entender, não é? Vou desenhar uns conjuntos para ver se a compreensão fica melhor. Vamos lá. Vai ser o seguinte: a probabilidade que eu calculei, a probabilidade de tirar uma moeda honesta e ter 4/6 de caras foi igual a, aproximadamente, 32,3%, certo? Então, vamos desenhar. Digamos que este aqui seja o conjunto universo de todos os eventos ocorrerem. E aqui eu tenho 1/3 de chance de tirar uma moeda honesta, já que são 15 moedas no total, tenho 1/3 de chance de tirar uma moeda honesta e 2/3 de chance de tirar uma moeda desonesta, certo? E aí, o que a gente calculou foi o seguinte: dentro desse universo aqui, das moedas honestas, eu tenho 32,3% de chance de obter 4/6 de caras. Então, digamos que é 1/3 disso aqui, esse pedaço. Neste caso, deixe-me fazer em outra cor aqui. Digamos que é este pedaço aqui, beleza? Então, isso aqui é no caso de você tirar a moeda honesta e obter 4/6 de caras. E um pouco mais do que isso aqui (vai ser assim, mais ou menos), é no caso da moeda desonesta você obter 4/6 de caras. E essa área toda é a probabilidade de você ter quatro caras em seis lances possíveis. E aí, o que o teorema de Bayes diz é o seguinte: nós estamos nesse universo aqui, sim ou não? Pois nós tiramos 4/6 de caras. Então, esses 32,3% são essa fração que corresponde a este pedaço aqui, de a gente pegar a moeda honesta e ter quatro caras em seis. Vai ser isso aqui. Então, é isso. Eu espero que eu consiga colocar este vídeo no YouTube, porque ele já está um bem longo, e eu espero te dado um pouquinho de intuição para vocês sobre esse assunto. Então, a gente se vê nos próximos vídeos. Tchau, tchau!