Exemplos de Laplace inversa

RKA8JV - Muito do que resolvemos da transformada de Laplace é uma combinação de padrões. Mas isso não deve ser uma coisa mecânica, e é por isso que, nesta aula, vou fazer alguns exemplos para você ver como é que funciona. Mas para você não se confundir, eu vou revisar algumas coisas que eu já tinha falado com você. Bem, no último vídeo, eu coloquei aqui a transformada de uma função f(t), que eu vou escrever como a transformada de uma função f(t). Isso vai ser igual a uma função F(s). Vimos também que a transformada da função degrau de zero a "c" de "t" vezes uma função f(t) deslocada em "c" unidades é igual a e⁻ᶜˢ, vezes F(s). Eu vi isso mais ou menos a 3 ou 4 vídeos atrás. Nós também vimos a transformada de eᵃᵗ, que foi a transformada de eᵃᵗ vezes uma função de "t". E eu quero deixar uma coisa bem clara. Aqui nós deslocamos o f(t) e conseguimos um tipo de função irregular f(s). Nesta situação, quando multiplicamos por um eᵃᵗ, terminamos por deslocar a transformada presente. Então, isso vai ser igual F(s - a). E eu não quero que você se confunda com estas duas transformadas aqui, e daqui a pouco eu vou mostrar alguns exemplos para você aplicá-las. Então vamos escrever outras coisas que aprendemos também. Uma delas foi que a transformada de 1, na verdade, é a mesma coisa que 1/s. Generalizando, podemos dizer que a transformada de um "t" elevado a um expoente "n" vai ser igual a um "n!/sⁿ⁺¹". Nós também vimos a transformada do seno e do cosseno, e descobrimos que transformada do sen(at) era igual um "a" sobre "s² + a²", e a transformada do cosseno era, na verdade, do cos(at), era igual a "s" sobre "s²+a²". Em próximos vídeos, nós vamos ver outras transformadas, mas neste vídeo aqui, eu só vou ver mesmo estas transformadas aqui. Então eu acho que é importante você saber isso para quando você resolver uma equação diferencial, você saber e voltar. Vamos dizer que eu tenho F(s) = 3!/(s - 2)⁴. E automaticamente, você associa isso aqui a esta transformada aqui. Então eu vou colocar um asterisco, que provavelmente você associa a ela. Então se isso fosse verdade, nós teríamos que calcular a transformada de alguma coisa para dar isso aqui. Tá, se é a mesma coisa, então, você pode dizer que o "n" no caso aqui vale 3, ou se você observar no expoente, "n + 1" dá quatro, então, nosso "n" daria 3. Se eu fosse calcular a transformada de alguma coisa que desse isso aqui, seria a transformada de t³. E se seu calcular transformada de t³ substituindo aqui, eu vou ficar com 3!/s⁴. Você pode perceber que isso aqui não é a mesma coisa que isso aqui, ou seja, você cometeu um engano ao observar. Mas se não é igual, se estas duas expressões não são iguais, pelo menos elas são parecidas, então, qual é a diferença entre a inversa da transformada e esta expressão aqui? Bem, se chamamos esta expressão de F(s), então, esta expressão aqui de F(s), qual seria esta expressão aqui? A expressão seria F(s - 2). Eu vou colocar aqui, F(s - 2). Então, com o que estamos lidando aqui? Na verdade, estamos lidando com um deslocamento F(s), ou seja, o "a" vale 2. Então, neste caso, estamos lidando com a transformada de eᵃᵗ vezes uma função f(t). Deixa eu colocar isso para vocês verem melhor. Eu vou colocar aqui que a transformada de e²ᵗ, porque no nosso caso, o "a" vale 2, então, isso vezes t³. E o inverso desta transformada vai ser a transformada de -1 a 3!/(s - 2)⁴. Então basicamente, isso aqui é o inverso desta transformada aqui. Ou seja, isso daqui é igual a e²ᵗ vezes t³. e se eu quisesse entender melhor esta transformada aqui, vamos estudá-la um pouquinho melhor, eu vou colocá-la aqui embaixo. Então, eu posso dizer que a transformada de e²ᵗ vezes t³, eu posso colocar aqui. Então, temos a transformada de t³, e isso é fácil, que você pode dizer que isso é igual a 3!/s⁴. E claro, isso daqui eu posso chamar de F(s). Se você olha para isso aqui, isso na verdade é um deslocamento de duas unidades, então, eu posso dizer que isso aqui é a mesma coisa que F(s - 2), que é a mesma coisa, então isto aqui é igual a 3!/(s - 2)⁴. E isso aqui é a mesma coisa que isso aqui. Então é basicamente isso que eu quero dizer para vocês. E eu acho que a coisa mais complicada quando você fala em transformada são esses deslocamentos que podem acontecer, porque eu acho que as transformadas básicas você consegue fazer facilmente. Eu acho que o deslocamento realmente é o que mais complica. Tá, vamos ver outro exemplo aqui, e eu vou descer a tela para ficar melhor, para ter mais espaço. Então vamos colocar algo mais complicado. Eu vou colocar aqui que F(s) vai ser igual a 2(s - 1)e⁻² sobre s² - 2s + 2. Bem, quando você olha esta expressão, tem bastante de deslocamento aqui, mas a primeira coisa a se fazer é observar este denominador, que é um polinômio e você se pergunta se você pode fatorar. Na verdade você pode, mas você tem que utilizar o método de completar quadrados, que basicamente, consiste no seguinte: esta expressão aqui é um produto notável. Na verdade é o quadrado da diferença, só que ele não está completo Como assim? Então eu vou colocar esta parte aqui para você observar melhor o que significa esse método de completar quadrados. Então, eu vou colocar aqui o s² - 2s, e vou deixar um espaço aqui, mais 2. E o que eu quero que você perceba é que isso aqui é algum produto notável. Mas qual produto notável é? Eu resolvi alguma coisa e cheguei nisso daqui. Mas está faltando um quadrado aqui. De qual termo? Você tem que completar este quadradinho aqui. Basicamente, eu tenho que descobrir algum número que eu vou colocar aqui, e esse quadrado aqui vai ficar completo. Então, temos o quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais quadrado do segundo, que é o quadrado da diferença. Então, eu percebi que se eu somar +1 aqui, e eu vou mudar a cor para ficar melhor de ver, se eu somar +1 aqui, essa expressão aqui, agora pode ser fatorada. Mas observe, se eu coloquei 1 aqui, eu não posso alterar toda a expressão, eu tenho que tirar -1 aqui. Basicamente, eu coloquei 1 aqui e eu tenho que tirar 1, porque 1 menos 1 vai dar zero. Mas observe esta expressão aqui. Isto se parece com um produto notável, agora sim. Sabemos que isso aqui é o quadrado da diferença, então, eu posso escrever isso aqui como: (s - 1)², e se eu somar esses dois aqui, eu vou ficar com +1. Agora eu posso reescrever a minha expressão mudando o denominador. Então, eu vou colocar aqui ao lado com outra cor. Isto aqui vai ser igual a 2(s - 1)e⁻²ˢ sobre (s - 1)² + 1. E se você observar esta expressão aqui, agora já começa a aparecer algumas coisas interessantes. Por exemplo, eu vou colocar aqui a transformada do cosseno. A transformada do cosseno, transformada do cos(t) é a mesma coisa que s/s² + 1. Então, isso aqui é igual ao nosso F(s). E como vimos em aulas anteriores, se pegarmos a transformada de uma função e¹ᵗ vezes cos(t), que eu vou colocar aqui, a transformada de e¹ᵗ vezes cos(t). Então isso daqui causa um deslocamento de uma unidade para a direita, como vimos. Isso aqui causa o deslocamento nesse F(s). Então eu posso dizer que isso aqui vai ser igual a "s - 1" sobre "(s - 1)² + 1". Se você observar, a gente está chegando bem perto disso aqui. A gente já tem o "s² + 1" e também temos o "s - 1". Só falta chegar no 2 e também no e⁻²ˢ. Então, vamos continuar trabalhando algebricamente. Eu vou colocar aqui em outra cor para ver o que a gente já descobriu. Então, nós já descobrimos esta parte aqui. Pronto, então vamos continuar trabalhando. E lembrando que em algumas aulas nós vimos que a transformada da função degrau unitário, a transformada da função degrau unitário vezes uma função de "t" deslocada por "c" é igual a e⁻ᶜˢ vezes o F(s). Bem, como eu já tenho o F(s), era melhor eu ter chamado isso aqui de outra coisa, então, eu vou riscar e vou chamar isso aqui de outra coisa. E vou chamar de um f(t). Então vamos ignorar isso daqui e vamos definir nosso novo f(t). Eu vou botar isso aqui como f(t), então, eu vou colocar aqui como o f(t). O f(t) vai gerar um F(s), vai implicar no F(s). Então, o F(s) vai ser igual a "s - 1" sobre "(s -1)² + 1" O que eu quero que você perceba, comparando estes dois F(s), é que aqui temos um múltiplo vezes isso aqui, então, eu vou escrever: 2 vezes F(s) vezes e⁻²ˢ. Então eu vou colocar aqui em cima, isso vai ser 2F(s)e⁻²ˢ. Eu posso reescrever isso embaixo como: 2e⁻²ˢF(s). E comparando isso aqui com isso aqui, percebemos que é parecido, então, eu posso dizer que. neste caso, o meu "c" é igual a esse cara aqui, ou seja, é igual a 2. Então, o que significa isso? Se aplicarmos o inverso desta transformada aqui, que eu vou colocar aqui entre chaves, então, o inverso da transformada vai ser igual a 2 vezes a função degrau, então, a função degrau aqui no caso, o "c" e vale 2, então isso de "t" vezes uma função de "t" deslocada em 2 unidades. Então essa aqui é a inversa da transformada de Laplace. A nossa função está bem aqui, e eu vou reescrevê-la aqui, vou colocar uma setinha e vou reescrevê-la aqui. f(t)= e¹ᵗcos(t). Então, o inverso da nossa transformada, ou seja, a transformada de -1 de (2(s - 1)e⁻²ˢ/s² - 2s + 2), isso vai ser igual, ou seja, isso aqui é igual a isso aqui. Então, eu vou colocar que vai ser igual a 2 vezes a função degrau de zero a 2 de "t" vezes eᵗ⁻²cos(t - 2). Então recapitulando, nós completamos o quadrado deste polinômio aqui e reescrevemos o nosso F(s) como isso aqui, e aí comparamos aos nossos padrões de transformada para chegar à nossa inversa. É isso aí, pessoal. Até a próxima!