Função delta de Dirac

RKA2G - Quando nós estudamos a função de grau unitário ou função unitária, eu tinha dito que esse tipo de função era mais comum nos cursos de álgebra do que em cálculo em si . E eu vou mostrar nesta aula que muitas coisas do mundo real se comportam como ela. Vamos dizer que temos um sistema físico onde nada acontece por um tempo e, de repente, instantaneamente, Acontece um impulso e voltamos a caminhar constantemente por um período de tempo. Eu vou colocar um comportamento que se aproxima de impulso unitário. Vamos dizer que temos aqui... Estamos caminhando, caminhando... E de repente temos um impulso, do nada, e voltamos para o mesmo lugar. O que eu estou dizendo é que estamos vindo aqui constantemente e, de repente, alguma coisa acontece que, em questão de segundos, sofremos um impulso, chegamos no pico e, de repente, voltamos e continuamos andando constantemente. Eu vou mostrar que existe uma função que pode modelar esses comportamentos. Vamos dizer que você tem a função onde você vai caminhando e, de repente, você sofre um impulso instantâneo, com força infinita e, de repente, você volta do zero e continua caminhando. Ela vai infinitamente e depois volta para o zero. Então, vamos definir uma função. Vou dizer que este comportamento vai ser δ(x) que vai ser igual ao infinito, ou seja, vai para o infinito, se "x" for igual a zero e vai ser zero se "x" é diferente de zero. Então, vamos definir a integral do δ(x), que eu vou chamar de delta de Dirac. Ou seja, vamos analisar que a integral de menos infinito até o infinito do δ(x), dx vai ser igual a 1. E eu não estou provando isso, apenas estou colocando para vocês verem. O que eu quero dizer é o seguinte: que a área sobre a curva, aqui, vou mostrar a vocês que a área sobre a curva que vamos colocar vai ser sempre igual a 1, não importa o intervalo que você pegue, porque estamos analisando isto de menos infinito até o infinito. E vamos associar esta integral à área e você pode pensar que nós estamos fazendo isso (dizendo que esta integral é igual a 1) porque a área sob a curva que vamos colocar aqui vai ser 1. Então, digamos que, aqui, você vai ter uma base, nós vamos colocar um intervalo cada vez menor e aqui vai ter uma altura, ou seja, vai formar um retângulo. Esse retângulo formado sempre vai ter a área igual a 1. Eu vou mostrar isso para vocês. Mas, satisfeito com esta definição que eu coloquei, vamos ver a transformada de Laplace nesta função e a utilidade dela. Vamos construir uma nova função, que vamos chamar de dτ. dτ(t) vai ser igual... Eu vou definir como 1/2τ, isso se estiver entre -τ e +τ. Fora isso, vai valer zero. Então, eu vou colocar: se não estiver nesse intervalo, vai ser zero para todos os demais valores. Vou colocar: demais valores. Mas, se você olha para esta função, você tem que imaginar como "vizinhança". Como assim? Estou dizendo para você que, se eu estou caminhando pela esquerda até chegar em -τ, isto vai valer zero. E, quando eu caminhar entre -τ e τ, esta função vai ter este valor. Quando eu passar de +τ, todos os valores que estão à direita do τ positivo também vão valer zero. Basicamente, é isso que está dizendo esta definição da função dτ(t). Vamos representar graficamente esta função. Aqui eu tenho um "t". O eixo "t". E, aqui, eu vou colocar o "f" Vou colocar aqui o f(t). Vamos representar isto graficamente. Basicamente, vamos ter: o intervalo de -τ até +τ. Vamos ter, aqui, uma área sob a curva. E o que eu quero que vocês entendam é que, neste intervalo, nós vamos ter, como f(t), sempre 1/2τ. Então, eu posso marcar aqui, por exemplo, este valor de f(t) aqui. E nós vamos calcular a integral embaixo desta curva. Vou marcar aqui com uma setinha, para você ver melhor. Aqui é 1/2τ. Então, que tal construirmos uma função para este problema? Vamos calcular primeiro a integral de menos infinito até o infinito de dτ(t)dt. Isso vai ser igual a... Eu quero que você pense nisto em termos de área. Eu vou colocar aqui que a integral vai ser a mesma coisa que a área sob esta curva, que eu estou pintando. E eu posso simplesmente colocar isto com os limites de integração de -τ até τ. Porque pense comigo: se eu vim do infinito, aqui sempre vai dar zero. E, se eu vim aqui no infinito positivo, ou seja, à direita de τ, na "vizinhança" à direita de τ, isso sempre vai dar zero. Mas, nesta área aqui, nós vamos ter isto. Então, não importa se eu colocar de -τ até τ, ou colocar de menos infinito até o infinito, vai dar a mesma coisa. Podemos reescrever a integral desta maneira. Integral de -τ até τ de 1/2τ dt é igual a... E eu quero que você associe, primeiro, isso em termos de área, pensando em uma figura geométrica (que você provavelmente conhece, que é o retângulo) e, se você for calcular a área deste retângulo, você vai ter uma base que vai ser 2τ e esta altura, que é a mesma aqui, vai ser 1/2τ. Vou mudar a cor para colocar a base e a altura deste retângulo. Vamos ter que esta base vai ser 2τ e a altura, que vai estar aqui... A altura está aqui, então eu vou colocar aqui. Lembrando que a área de um retângulo é medida na base pela altura. A base vai ser 2τ, vezes a altura, que é 1/2τ. Isto vai ser igual a 1. E, se você calcular isto por regras de integração, também vai chegar a este 1. Vamos fazer isso agora. Se você colocar aqui que esta integral vai ser igual a t/2τ, com o limite de integração de -τ até τ, isto vai ser igual a τ/2τ menos (-τ/2τ). E, como aqui temos dois sinais negativos, isso vai ser igual a 2τ/2τ, que é a mesma coisa que 1. Então, mostramos que, se calcularmos isso em termos de área, vai ser a mesma coisa que a gente tirar esta integral. Agora, acho que você está convencido que a área sempre vai ser 1, independente dos valores neste intervalo. Ou seja, independente do τ. Digamos que nós escolhemos um intervalo menor para outros valores de τ e nós queremos construir um retângulo menor. Vou construir o retângulo aqui. Observe que, aqui, eu diminuí a base do retângulo, mas a sua altura aumentou. Mesmo eu fazendo essa mudança na base, a área, que está pintada em rosa, sempre vai valer 1. E, se eu quiser achar um intervalo menor ainda que este (daqui até aqui, por exemplo), esta área ainda vai valer 1. O que eu estou querendo dizer é: o que acontece se a gente vai diminuindo cada vez mais esta base e tendendo a zero? Claro, a base nunca vai ser zero porque a área é 1. Vou colocar aqui, quero que vocês associem isto a limite. Isto vai ficar mais claro se eu pegar outros valores para τ. Esta base vai ficar cada vez menor e, com isso, a altura vai tender ao infinito. Então, eu quero calcular, na verdade, o limite. Vou colocar aqui: o que eu quero saber é o limite de τ tendendo a zero, que é a base, de dτ(t). Você percebeu onde eu quero chegar? Eu quero você associe isto a um limite. Então, eu vou colocar aqui: isto vai ser igual a um δt, que eu vou chamar de delta de Dirac. E sabemos que o δ de Dirac é sempre igual a 1. Então, não importa o valor de τ sob esta área, sob a área da curva. Esta área sempre vai ser igual a 1. É assim que chegamos ao δx, ou ao δ de Dirac. Então, eu posso colocar, com este mesmo argumento, que o limite de τ tendendo a zero, na integral de menos infinito até o infinito de dτ(t) dt é igual a 1. Isto vai ser a mesma coisa que colocarmos a integral de menos infinito até o infinito do δ de Dirac dt. Então, a função δ de Dirac vai ser representada graficamente como? Então, você está vindo e, de repente, em fração de segundos, você tende ao infinito e volta no mesmo instante. Você sofre um impulso e volta no mesmo instante. Esta é a representação gráfica do δ de Dirac. Ou, melhor explicando, você vai vir e, quando chega em um t = 0, você sofre um impulso rapidamente e continua constantemente. Eu vou descer aqui para mostrar para vocês o que acontece quando o sofremos um certo deslocamento. Digamos que você tenha a função δ(t - 3). Isto está dizendo que nós vamos ter um deslocamento de 3 unidades para a direita. Se eu representar isso graficamente, vai ser a mesma coisa que colocarmos um eixo "t" aqui. Você está vindo, no eixo "t"... E você tem o zero, que eu vou colocar aqui. O zero, que no caso eu vou colocar este eixo aqui como f(t). E vou graduar este eixo "t" com 3 unidades. Uma, duas, três. E vou colocar 1 aqui, porque já vou mostrar isto para vocês em termos de área. Então, eu estou caminhando pela esquerda. Vou colocar em outra cor. Estou caminhando pela esquerda, cheguei no 3 e aqui eu sofri o impulso. Isto vai para o infinito. Isso significa que nós vamos ter um deslocamento de 3 unidades desta função aqui, do gráfico desta função. Aqui você pode perceber que estava no zero. Você chega no zero e este -3 faz esta função deslocar 3 unidades para a direita. Esta seta infinita significa a magnitude abaixo da curva. Esta setinha que eu vou colocar significa a magnitude da curva. Se eu for calcular a integral desta função, por definição, vamos ter que: a integral de menos infinito ao infinito de δ(t-3) dt, isto também vai ser igual a 1. Este deslocamento aqui não vai mudar a área. Ele só vai fazer a função caminhar 3 unidades para a direita. Eu quero que você pense que, em qualquer valor diferente do 3, nós vamos ter zero. E qualquer valor igual a 3, nós vamos ter o impulso aqui. Pensando ainda nesse deslocamento, digamos que eu tenha: 2 vezes δ(t - 2). Eu quero que você pense nisso graficamente. Nós vamos ter, de novo, o deslocamento de duas unidades, que eu vou colocar aqui no gráfico. Vou colocar o 2. Isso vai ser mais ou menos assim. E, observando este 2 aqui na frente, que está multiplicando δ(t - 2), Você tem que pensar isso em termos de área. Aqui nós tínhamos que a área era 1 e, como estamos multiplicando δ por 2, a área vai dobrar. Mas pense comigo: esta seta é infinita. Esta seta também é infinita. Se você parar para pensar que isto é duas vezes infinito, é meio loucura. Mas eu quero que você associe isso em termos de área. Se pararmos para olhar somente esta função, sem o 2 multiplicando, nós vamos ter δ(t - 2), que vai deslocar esta função para a direita em 2 unidades. E colocaríamos algo parecido com esta seta aqui. Mas este 2 aqui acaba por multiplicar a área sob a curva. Este é um meio de modelar coisas que não estão acontecendo nada e, de repente, sobem, têm um pico e logo voltam com o mesmo valor normal. E, para quem não acredita que existem muitos fenômenos envolvendo isso, principalmente em física, eu vou mostrar um exemplo que pode utilizar essa função δ(t). Ou melhor, δ de Dirac. Vou colocar embaixo para você ver melhor. Vamos dizer que temos uma parede aqui, com uma mola, com uma certa massa, ou seja, um bloco, que vamos chamar de "m". E nós vamos aplicar uma força nesta direção e isso vai causar uma deformação na mola. Aqui é o estado natural e causamos uma deformação que eu vou chamar de "y". Eu vou mostrar para vocês que podemos representar esse tipo de comportamento com uma equação diferencial usando a função unitária e o δ de Dirac. E podemos representar a força por uma equação bem básica, que você lembra da física, que é: a força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Aqui temos a massa. E eu quero saber quais são as forças que estão atuando neste sistema. Como temos esta força aqui, também vamos ter uma força contrária aqui. E essa força, lembrando da lei de Hooke, eu posso chamar de menos a constante da mola, vezes o "y". De acordo com a lei de Hooke, temos que: esta força vai ter a força, menos ky, isto vai ser igual à massa. E precisamos descobrir esta aceleração. Lembrando que a aceleração, nós podemos derivar a posição e vamos ter a velocidade. E, quando derivamos a função velocidade, nós vamos ter a aceleração. Então, eu vou dizer que "y" vai ser igual à posição. E, se derivarmos a posição, nós vamos ter a função velocidade. E, se tirarmos a derivada de segunda ordem, finalmente, nós vamos ter a aceleração. Então, basicamente, nós podemos tirar a derivada de segunda ordem da posição para chegar na aceleração, Ou, se tirarmos a derivada da velocidade, nós vamos ter a aceleração. Substituindo aqui a aceleração, nós vamos ter vezes a derivada de segunda ordem. E, se somarmos ambos os membros por isso, ou seja, por -ky, se somarmos por isto, que é a força, nós vamos ter que a força vai ser igual à massa, vezes a derivada de segunda ordem, que é a aceleração, mais a constante, vezes "y". Então, se nós não tivermos uma força externa aqui, esta equação vai ser uma equação homogênea, porque a força vai ser zero. E, se a força externa é diferente de zero, vamos ter uma equação não homogênea. O que eu quero que vocês percebam é que essa força que estamos aplicando no bloco é um tipo de função de Dirac. Por exemplo, se eu colocar aqui que δ(t - 2) vai ser igual à massa do bloco, vezes a aceleração, mais ky, isso significa que nós vamos ter um impulso de duas unidades para cá. Posso colocar uma setinha para você ver melhor. Vamos ter um impulso de 2 aqui. A força pelo tempo vai nos fazer lembrar o que é um impulso. O impulso vai mudar o momento e terá uma intensidade igual a 1. Mas claro, dependendo das suas unidades. De qualquer maneira, nos próximos vídeos, nós vamos continuar falando sobre essa função de Dirac. Vamos averiguar a sua transformada de Laplace e ver como isso pode afetar outras transformadas. Até o próximo vídeo, pessoal!