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Curso: Estatística Avançada > Unidade 9

Lição 5: Distribuições amostrais para diferenças nas proporções amostrais

Diferenças de proporções amostrais — exemplos de probabilidade

Use a forma, o centro (média) e a variabilidade (desvio-padrão) para calcular as probabilidades de vários resultados quando lidamos com distribuições amostrais para as diferenças de proporções amostrais.

Introdução e revisão

Neste artigo, vamos praticar aplicar o que aprendemos sobre distribuições amostrais pelas diferenças em proporções amostrais para calcular as probabilidades de vários resultados amostrais.

Pule adiante se quiser ir direto para alguns exemplos.

Aqui está uma análise de como podemos pensar na forma, centro, e variabilidade na distribuição amostral da diferença entre duas proporções

{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}

Forma

A forma de uma distribuição amostral de

{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}

depende de se as duas amostras passam a condição da grande quantidade.

Se esperamos pelo menos $10$ ‍ sucessos e pelo menos $10$ ‍ fracassos nas duas amostras, então a distribuição amostral de ${\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}$ ‍ será aproximadamente normal.
Se uma ou mais dessas amostras for menor que $10$ ‍, então a distribuição amostral não será aproximadamente normal.

Centro

A diferença média é a diferença entre as proporções populacionais:

μ_{{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}} = p_{1} - p_{2}

Dispersão

O desvio-padrão da diferença é:

σ_{{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}} = \sqrt{\frac{p_{1} (1 - p_{1})}{n_{1}} + \frac{p_{2} (1 - p_{2})}{n_{2}}}

(em que

n_{1}

n_{2}

são os tamanhos de cada amostra).

Esta fórmula de desvio-padrão está exatamente correta, desde que tenhamos:

Observações independentes entre as duas amostras.
Observações independentes dentro de cada amostra*.

*Se estivermos amostrando sem substituição, essa fórmula na verdade vai superestimar o desvio-padrão, mas ele vai ser extremamente próximo do valor correto, desde que cada amostra seja menor que

10 %

de sua população.

Vamos tentar aplicar essas ideias a alguns exemplos e ver se podemos usá-las para calcular algumas probabilidades.

Exemplo 1

Yuki é candidata a prefeita e quer saber quanto apoio tem em dois distritos diferentes. Ela não sabe, mas tem o apoio de

45 %

dos

8.000

eleitores do Distrito A e de

40 %

dos

6.500

eleitores do Distrito B.

Yuki contrata uma empresa de pesquisa para coletar amostras aleatórias de

100

eleitores de cada distrito. A empresa então analisa a diferença entre as proporções dos eleitores que a apoiam em cada amostra

({\hat{p}}_{A} - {\hat{p}}_{B})

Pergunta 1.1

Quais são a média e o desvio-padrão da distribuição amostral de ${\hat{p}}_{A} - {\hat{p}}_{B}$ ‍?
Arredonde para três casas decimais.

Exemplo 2

Uma empresa tem dois escritórios, um em São Paulo e um no Rio de Janeiro.

Cada escritório tem cerca de $600$ ‍ funcionários no total.
$85 %$ ‍ dos funcionários do escritório de São Paulo têm menos de $40$ ‍ anos de idade.
$81 %$ ‍ dos funcionários do escritório do Rio de Janeiro têm menos de $40$ ‍ anos de idade.

A empresa planeja coletar amostras aleatórias de

50

funcionários de cada escritório. Eles vão analisar a diferença entre as proporções de funcionários que têm menos de

40

anos em cada amostra

({\hat{p}}_{M} - {\hat{p}}_{D})

A empresa se pergunta qual é a probabilidade de a diferença entre as duas amostras ser maior que

10

pontos percentuais.

Pergunta 2.1

Por que é inapropriado usar uma distribuição normal para calcular essa probabilidade?

(Escolha A)
Estamos amostrando mais de $10 %$ ‍ de cada população, então não sabemos o desvio-padrão da distribuição amostral.
(Escolha B)
Estamos amostrando menos de $10 %$ ‍ de cada população, então a distribuição amostral não tem distribuição aproximadamente normal.
(Escolha C)
Esperamos menos de $10$ ‍ "fracassos" em cada amostra, então não sabemos o desvio-padrão da distribuição amostral.
(Escolha D)
Esperamos menos de $10$ ‍ "fracassos" em cada amostra, então a distribuição amostral não tem distribuição aproximadamente normal.

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