2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6d

RKA3JV - Seja P₄(x) o polinômio de Taylor de quarto grau, para "f" próximo de "x" igual a zero usando a informação do gráfico de y = |f⁵ (x)| demostrado acima, no caso aqui eu coloquei ao lado para aproveitar melhor o espaço, mostra que o módulo P₄(1/4) - f(1/4) é menor que 1/3000. Isto parece ser um problema bem grande, mas bem interessante também. Então, aqui, primeiro vamos apenas pensar sobre o que eles estão perguntando. Eles estão pedindo a diferença entre o polinômio e a função avaliada em 1/4. Em outras palavras, eles nos pedem o erro de aproximação da função em "x = 1/4". Então, deixe-me desenhar um gráfico pequeno aqui, apenas para que nós possamos visualizar um pouco melhor. Assim, este é o nosso eixo "y". Permita-me desenhá-lo aqui! E este é o nosso eixo "x". E a nossa função, vamos dizer que a nossa função parece com algo assim. O nosso polinômio é centralizado no zero. O nosso polinômio de quarto grau é centralizado em zero e, por isso, vai ser igual à função em zero. Em seguida, ele se tornará, provavelmente, uma aproximação ruim, como podemos obter mais e mais longe de zero. E o que eles estão dizendo está vinculado como uma aproximação que é ruim, quando x = 1/4. Portanto, pode-se dizer que isto é x = 1/4, logo mais aqui. Eles estão nos dizendo para olhar o polinômio em 1/4, subtrair do que o valor da função em 1/4, e, em seguida, tomar o valor absoluto. E que será, essencialmente, o valor absoluto para a parte restante ou a distância entre as duas funções. E eles querem o que está vinculado a essa distância. Agora, para resolver este problema, há algo que você precisa saber. E eu provei isto em outra série de vídeos. Dois vídeos que estão na lista de reprodução da Khan Academy sobre Cálculo. Se você fizer uma pesquisa sobre delimitação, ou erro, ou aproximação de Taylor, você provavelmente deve encontrar. Lá há uma ideia geral e você vai ver que há uma ideia geral, que é a que provamos, que se você tiver alguma função. Então, eu vou mostrar o geral. Se você tiver uma função f(x) em que você tenha alguma aproximação polinomial de grau "n", digamos que essa aproximação polinomial é centrada em 1. Em nosso caso particular "a" é zero. Para que você esteja centrado em 1. Então, podemos escrever, podemos dizer que isso é sobre "a". É uma aproximação de x = a. Então, podemos encadear o erro. Então, deixe-me primeiro definir esta função de erro aqui. Às vezes é chamado de restante, então podemos dizer que, então, podemos dizer a função do erro para o grau "n" do polinômio sobre "a", polinômio de Taylor do enésimo grau aproximado sobre "a" será uma função de "x". Então, para qualquer outro "x" que você escolher, qual será este erro? É igual à diferença entre estas duas coisas. Você poderia dizer que é f(x) menos aquele, ou aquele menos f(x). Mas, deixe-me apenas escrevê-lo desta forma. Isto é igual a f(x) menos a aproximação polinomial de "x". E se você quiser ter o valor absoluto disto, isto é igual ao valor absoluto disto. Se você estiver tomando valores absolutos, então, você pode mudar a ordem. Então, isso é o mesmo que o valor absoluto da aproximação polinomial em "x" menos f(x). Então, o que você precisa saber é que podemos encadear isto, podemos encadear isto se conhecemos algumas propriedades sobre o n + 1 derivado de "f". Se sabemos que "n" mais o primeiro é a derivada de "f" é menor ou igual a algum valor máximo. E, em particular, o valor absoluto de "n" mais a primeira derivada de "f" é menor ou igual a alguns. Podemos chamar isso de algum valor máximo ao longo do intervalo sobre "x" está no intervalo entre "a" e algum "b", onde b > a. Então, podemos fazer a afirmação. E isso é, mais uma vez, algo que provarei neste vídeo. Eu acho que eu chamo isto de delimitação do erro restante para a aproximação de Taylor. Algo parecido. Então, sabemos que a função de erro em qualquer dado "x", onde "x" é maior que, ou deixe-me dizer isso em particular. Qualquer "x" dado é parte deste intervalo, onde "x" é parte deste intervalo entre 1 e "b" vai ser menor ou igual a "m" vezes x - a, para o "n" mais a primeira potência sobre n + 1. Então, isso é o que você realmente tem que saber antecipadamente para poder resolver este problema. Seria quase impossível nas restrições de tempo no exame AP provar isso pelos primeiros princípios. Eu encorajo você a assistir a este vídeo para que você possa entender como a prova acontece dos primeiros princípios. Mas, indo para o exame AP com base nos fatos que apareceram no exame de 2011, provavelmente, é bom conhecer essa propriedade para saber como resolver este exercício. E isto é, claramente, o que eles estão pedindo. Porque eles estão nos dando, nós sabemos o que é P₄(x) até o termo de aproximação polinomial de quarto grau de "f" próximo de zero. Na parte "b", conseguimos todo o caminho do sexto grau. Então, se você quiser ir apenas para o termo de quarto grau, isto é, para P₄, então, este é 1 + x² / 2 + x para o 4/4. Então, sabemos disso e queremos encadear esta coisa aqui. Então, se pudermos encontrar um "m", então, este é o quarto grau polinomial. Este é o erro de quarto grau que estamos falando sobre este caso. Deixe-me escrever desta forma. Este é o nono erro no caso geral, mas queremos vincular o erro do quarto grau. Então, se queremos ligar o erro de quarto grau, então podemos dizer o erro de quarto grau em "b". Neste caso, vamos dizer 1/4. Devo dizer, eu nunca mencionei um "b" antes, eu mencionei o "b" quando eu ia provar isto. O erro de quarto grau em 1/4 vai ser menor ou igual a, eu mencionei 1b aqui. Então, se você levar isso para 1/4, e 1/4 é a parte deste intervalo para que possa aplicá-lo aqui. Então, o erro de quarto grau, eu acho que você poderia dizer em 1/4 vai ser menor ou igual a algumas vezes "mb". Devo dizer, 1/4 - a. 1 em nosso caso particular para este problema. Então, 1/4 menos é apenas zero para "n" mais a primeira potência. Então, isso é 4. Este é o polinômio de quarto grau. n = 4, então elevado a n + 1 é a quinta potência. Tudo isso, desculpe, isso vai ser n + 1. Tudo isso, n + 1!. Então, isso será de 5!. Eu não quero confundir você. Tudo isso é mais n + 1!. Então, tudo isto é de 5!. Então, podemos fazer esta formação, se soubéssemos que o quinto derivado, o "n" mais o primeiro o derivado, se sabemos que a quinta derivada de "f" é menor ou igual a algum valor de "m", o valor absoluto do quinto derivado de "f", devo dizer, é menor ou igual a algum valor de "m" ao longo do intervalo "x". Está entre zero e 1/4. Estes são os nossos "a" e "b", neste caso particular. Então, quando você olha para o gráfico e isso é exatamente o que eles nos deram. Eles nos deram o gráfico do valor absoluto da quinta derivada de "x" em 1/4. Está bem aqui! Então, é 1/4. Nós não sabemos exatamente o que atingimos aqui, parece que é mais ou menos, eu não sei 31 ou 32. Mas sabemos que é definitivamente menos que 40 ao longo do intervalo entre zero e 1/4. Sabemos que isto é menor ou igual a 40 durante este intervalo. Então, podemos fazer esta afirmação. Então, sabemos que esta coisa está bem aqui, vai ser menos. Porque isto aqui é o mesmo que este aqui. Nós sabemos que isso é menos do que, deixe-me escrever tudo. Isto é, eu conheço as pessoas que receberam 5 neste exemplo sem poder fazer isso. Portanto, não esqueça se isto parece realmente bizarro também. É para eles se separarem aqueles que realmente conheceram disto daqueles que não conheceram. Então, isto, podemos dizer, é baseado nesta propriedade. Podemos dizer que é menor ou igual a 40 vezes 1/4. Então, isto é 40 vezes 1/4 elevado à quinta potência. Então, eu poderia simplesmente dizer dividido por 4 para a quinta potência. Vezes e, então, no denominador aqui, temos 5!. Eu apenas escreverei isso 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2. E não precisamos escrever o 1. E isso não altera o valor. E, agora, podemos simplificar isto. Podemos dividir o numerador e o denominador por 4. Então, isto se torna 10, que só se torna 1. Podemos dividi-lo por 5 e isto se torna 2, que se torna 1. Podemos dividir por 2 e isto se torna 1, que se torna 1. E você diz que esta quantidade aqui será igual a 1. Então, deixe-me escrever. Então, todas estas coisas são menores ou iguais a 1. 4 elevado a 5 vezes 3. Isto é tudo o que nos resta no denominador. Então, o que é 4 elevado a 5? Você pode não saber. Você pode resolver isto manualmente se quiser. Mas, 4 elevado a 5 é o mesmo que 2 elevado a 10. Porque 4 é 2². 2 elevado a 10, se você está familiarizado com a ciência da computação, é 1024. Mas você pode resolver isto sozinho. Então, isto é menor ou igual a 1024 vezes 3 igual 3072. Então, esta quantidade é inferior a 1/3072. Nós sabemos disso para um fato. Bem, se algo for inferior a 1/3072, definitivamente, será menor do que 1/3000, tem um denominador menor. Isto é, definitivamente, inferior ou igual a 1 em mais de 3 mil. Então, terminamos! Provamos que isso é menor que 1/3000. Provamos que o erro em 1/4 é inferior a 1 em mais de 3 mil.