2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6a

RKA10MP – Suponha que f(x) igual a sen (x²) mais cos “x”. O gráfico de “y” igual ao valor absoluto de… f⁽⁵⁾(x) é mostrado acima. Acho que a gente vai precisar deste gráfico só para a letra (d), então vamos começar com a letra (a). Escreva os quatro primeiros termos não-nulos da série de Taylor para sen “x” acerca de “x” igual a zero, e escreva os quatro primeiros termos não-nulos da série de Taylor para sen (x²) acerca de “x” igual a zero. Vamos fazer a primeira parte. E só lembrando, a série de Taylor é uma aproximação polinomial de uma função. Então vamos lembrar um pouquinho disso. Se você tem uma função que parece mais ou menos com isso, por exemplo, e quer utilizar a série de Taylor para aproximar esta função acerca de zero. Se a sua série de Taylor tiver apenas um termo, a sua aproximação vai ser uma constante, vai ser uma linha reta assim. Se tiver dois termos, você vai ter uma linha mais ou menos assim. Se você tiver três termos, vai ter uma coisa um pouquinho diferente, talvez algo assim. Com quatro termos, você se aproxima mais ainda desta função e podendo ter algo que se pareça com isso, e assim por diante, até o ponto que, adicionando infinitos termos, talvez se tenha algo que seja exatamente esta função. Então se temos uma função f(x), a gente pode aproximar isso utilizando a série de Taylor, por exemplo, acerca de zero. Então ficaria f(0) mais a primeira derivada de f (0) vezes “x”, mais a segunda derivada de f (0) vezes x² sobre 2 fatorial, mais terceira derivada de f (0) vezes x³ sobre 3 fatorial, mais, acho que vocês já entenderam o ponto, f⁽⁴⁾(0) vezes x⁴ sobre 4 fatorial, e assim por diante. Então o enunciado quer saber os quatro primeiros termos não-nulos da série de Taylor para sen “x” acerca de “x” igual a zero. g(x) igual a sen “x”. Então g(0) vai ser sen de zero é igual a zero. Em g'(x) a primeira derivada vai ser cos “x”. Então g'(0) vai ser igual a 1. g⁽²⁾(x) vai ser -sen “x”. g⁽²⁾(0) vai ser zero de novo. g⁽³⁾(x) vai ser -cos “x”. -cos de zero vai ser -1. Você pode continuar fazendo isso e vai ver que os valores vão se repetir porque g⁽⁴⁾(x) volta a ser sen “x”. Então g⁽⁴⁾(0) vai ser zero de novo. E assim por diante. Isso aqui vai ser igual a g⁽⁵⁾(0), isso aqui vai ser igual a g⁽⁶⁾(0), e isso vai ser igual a g⁽⁷⁾(0). Então, a partir disso, vamos ver como fica a aproximação da função g(x) ou da função sen “x”. Nosso primeiro termo, que seria g(0), a gente viu que é zero, então nem precisamos escrever isso. Partindo para o segundo termo, a gente tem g⁽¹⁾(0), que é 1, vezes “x”. Temos o nosso primeiro termo não-nulo, que é “x”. Partindo para o próximo termo, a gente tem g⁽²⁾(0), que também é zero, então a gente parte para a próxima. g⁽³⁾ é -1 vezes x³ sobre 3 fatorial. Então a gente vai ter -x³ sobre 3 fatorial. g⁽⁴⁾ é, novamente, zero, A gente parte para g⁽⁵⁾, que vai ser 1. Vamos ficar com x⁵ sobre 5 fatorial. g⁽⁶⁾, de novo, vai ser zero. E g⁽⁷⁾ vai ser -1, então -x⁷ sobre 7 fatorial. Esta é a nossa primeira parte, é o que pediu na primeira parte do enunciado da letra (a), são os quatro primeiros termos não-nulos da série de Taylor. E para sen (x²), como é que fica agora? Vamos escrever aqui. A nossa função é sen (x²). Agora basta a gente substituir, onde usamos “x” para sen “x”, a gente substitui por x², então ficamos com x² menos, em vez de “x”, agora é x², elevado a 3 sobre 3 fatorial mais x² elevado a 5 sobre 5 fatorial menos x² elevado a 7 sobre 7 fatorial. E isso é uma coisa muito importante porque se a gente tivesse tentado fazer a série de Taylor direto para sen (x²) perderíamos todo esse tempo tentando achar as derivadas, como fizemos para sen “x”. Então, basicamente, usamos um atalho, fazendo para sen “x” primeiro facilitou muito achar a série de Taylor para sen (x²). Agora a gente pode simplificar um pouco isso aqui. Aqui vai ser aproximado a x² menos x⁶ sobre 3 fatorial mais x¹⁰ sobre 5 fatorial menos x¹⁴ sobre 7 fatorial. E esta é a segunda parte do nosso problema.