Cálculo Avançado AB 2015 5d

RKA14C A figura acima mostra o gráfico de f', a derivada de uma função duas vezes a diferenciável f, em um intervalo que vai de -3 a 4. O gráfico de f' tem tangentes horizontais em x = -1, x = 1 e x = 3. As áreas das regiões delimitadas pelo eixo x e o gráfico de f' no intervalo (-2, 1) e (1, 4) são 9 e 12 respectivamente. Letra "d)": Seja f(1) = 3, escreva uma expressão para f(x) que envolva uma integral. Depois disso, encontre f(4) e f(-2). A primeira coisa que nós vamos fazer é encontrar uma expressão para f(x) que vai envolver uma integral. E o legal é que nesta questão ele dá, praticamente, todas as informações para a gente. Ele nos apresenta o gráfico da derivada desta função, e ele nos diz, ainda, que as áreas nestas regiões são 9 e 12 respectivamente. O que vamos buscar é esta função f(x) que envolva uma integral. Vamos lá! A primeira coisa que a gente pode fazer para começar a resolver este problema seria calcular a integral de uma função. Neste caso, a gente vai calcular a integral desta função com os limites de integração indo de a até b, já que se trata de uma integral definida. E a gente vai calcular essa integral definida, f(x) dx, indo de a até b. Só temos um pequeno problema, nós não temos informações a respeito de f(x), mas a gente tem informações a respeito da derivada de f(x), ou seja, f'(x). O gráfico que a gente tem no problema é o gráfico da derivada de f(x), não é? Sendo assim, a gente vai calcular a integral de f'(x) dx. Agora, qual seria a integral da derivada de f(x) dx? A integral da derivada de f(x) dx é o próprio f(x). Como se trata de uma integral definida, a gente vai avaliar esse f(x) nos limites de integração indo de a até b. Isso vai ser igual, então, a f(b) menos f(a). Conseguiu entender a ideia? A gente tem a integral da derivada de f(x) dx. E a antiderivada da derivada de f(x) dx é o próprio f(x). Por isso que esta integral indo de a até b de f'(x) dx vai ser igual a f(x) nos limites indo de a até b. E isso é igual a f(b) menos f(a). Agora, que tal se a gente fizesse uma pequena mudança aqui e, em vez de avaliar a integral indo de a até b, a gente avaliasse esta integral indo de a até um ponto x qualquer? A gente pode fazer uma mudança de variável aqui e ter, como isto, algo muito parecido. Só que a gente vai ter a integral de a até um ponto x qualquer de f'(u) du. Utilizando a mesma ideia que a gente fez aqui antes, ∫ f'(u) du = f(u) avaliado nestes dois pontos, ou seja, f(x) menos f(a). Como a gente quer resolver para f(x), a gente pode isolar esse f(x) somando por f(a) dos dois lados da equação. Assim, a gente vai ter f(x) = ∫ de a até x de f'(u) du + f(a). O que eu fiz aqui foi somar com f(a) dos dois lados, assim, a gente anula este f(a) deste lado e fica com f(a) positivo. Depois, eu inverto os dois lados da igualdade, o que não muda nada, f(x) fica do lado esquerdo e ∫ a até x de f'(u) du + f(a) fica aqui do lado direito. A gente já sabe que f(1) = 3, certo? No lugar do a, a gente já poderia colocar o 1. E o f(a) seria o f(1), que é igual a 3, que a gente já conhece. Vamos fazer isso! Vamos pegar isto e repetir aqui em cima colocando f(x) onde f(x) vai ser igual à integral definida indo de a... Só que o nosso ponto a é 1, então, vai ser de 1 até um x qualquer. ...f'(u) du + f(a). Como a = 1, vamos ter que f(1) = 3. Pronto, conseguimos resolver a primeira parte do problema, que é escrever uma expressão para f(x) que esteja envolvendo uma integral. A gente fez isso e já resolveu a primeira parte. Agora, vamos para a segunda parte. Encontre f(4) e f(-2). A gente pode utilizar essa expressão que nós encontramos para calcular estas funções nestes dois pontos. Por exemplo, se a gente quer a função f quando x = 4, basta, simplesmente, calcular a integral indo de 1 até 4 de f'(u) du + 3. Ok, tudo bem. Como a gente consegue encontrar essa integral da derivada desta função indo de 1 até 4? Este aqui é o gráfico que representa essa derivada. Se a gente está interessado em saber a integral indo de 1 até 4 de f', a gente precisa lembrar que a integral definida representa a área abaixo de uma curva, certo? Por exemplo, se a gente quer a integral indo de 1 até 4 e que isso represente a área da figura, basta simplesmente a gente calcular a área desta figura. A área desta figura formada abaixo desta curva. Só que temos um problema! Na verdade, não é abaixo dessa curva... Seria a área entre a curva e este eixo x, que, neste caso, seria esta área. Temos um problema: como podemos calcular esta área se a gente não tem a função da derivada? Isso é facilmente resolvido com o próprio enunciado do problema. Porque ele diz para a gente que, em um intervalo indo de 1 até 4, a área é igual a 12. Então, a gente tem esta área aqui sendo igual a 12. Esta integral indo de 1 até 4 de f'(u) du é igual a 12. Só temos um outro probleminha... Não é igual a 12 positivo, porque esta curva está abaixo do eixo x. Se estivesse acima do eixo x, a gente teria um valor positivo, mas, como está abaixo do eixo x, o nosso 12 aqui, que é o resultado dessa integral, tem um valor negativo. Então, quando a gente quer saber a função para x = 4, a gente vai ter aqui -12 + 3... -12 + 3 = -9. Então, esse é o valor da função x = 4. Podemos fazer o mesmo aqui agora para x = -2. Então, vamos novamente utilizar nossa expressão para x = -2. Isso vai ser igual à integral definida indo de 1 até -2 de f'(u) du + 3. Temos um pequeno problema aqui! Se você reparar bem, a gente vai ter uma integral em que o limite inferior é maior que o limite superior. Isso é facilmente resolvido quando a gente troca os limites de integração. Para trocar os limites de integração, basta trocar o sinal dessa integral. Basta colocar um sinal de menos aqui na frente. Então, a gente vai ter: -∫ -2 a 1 de f'(u) du + 3. Ok. Como a gente pode calcular agora essa integral vindo de -2 a 1 de f'(u) du? Da mesma forma que a gente fez antes, a gente vai avaliar os limites de integração aqui vindo de -2 até 1. Então, essa integral calculada aqui nesse limite de integração vai corresponder a toda essa área. A área no intervalo vindo de -2 até 1, o problema também nos forneceu: é igual a 9. Pelo fato desta curva estar abaixo do eixo x, essa integral vindo de -2 a 1 de f'(u) du vai ser igual a -9. Ou seja, 9 negativo. Só que, como a gente tem aqui um sinal de menos na frente e, aqui, um sinal de menos na frente do 9, a gente vai ter menos vezes menos. E menos vezes menos é igual a um valor positivo. Então, a gente vai ter aqui 9 + 3. 9 + 3 = 12. Então, esta é a resposta para essa questão!