Cálculo Avançado AB 2015 5c

RKA2G - Continuando a questão 5, vamos responder agora a letra C. Encontre as coordenadas "x" para todos os pontos de inflexão no gráfico de "f". Escreva as razões de sua resposta. Bem, o que seria um ponto de inflexão? Vamos escrever isso aqui. Ponto de inflexão. Um ponto é considerado um ponto de inflexão quando há uma mudança na concavidade de um gráfico. A gente pode dizer que um ponto é considerado um ponto de inflexão quando há uma mudança na concavidade do gráfico da função. Um detalhe: é no gráfico da função, não no gráfico da derivada dessa função. Este é o gráfico da derivada da função, não é o gráfico da função. Sendo assim, nós podemos dizer que esse ponto de inflexão ocorre quando uma função tem uma concavidade voltada para cima e, ao passar por esse ponto, a concavidade fica voltada para baixo. E, claro, vice-versa. Ou seja, a gente pode ter uma concavidade voltada para baixo e, ao passar por esse ponto, a concavidade vai ficar voltada para cima. Então, sempre que houver essa mudança de concavidade no gráfico da função, a gente pode dizer que esse é um ponto de inflexão. Isso vai ocorrer se, e somente se, o sinal da segunda derivada se alterar. Ou seja, caso a segunda derivada seja positiva, ela vai se tornar negativa. E vice-versa. Caso a gente tenha uma derivada negativa e ela se torne positiva, ao passar por esse ponto, nós podemos também dizer que esse ponto vai ser um ponto de inflexão. Nós podemos também dizer que esse ponto é um ponto de inflexão. E isso vai acabar implicando na seguinte situação: em uma mudança de crescimento ou decrescimento da primeira derivada. Caso a derivada esteja aumentando, ao passar pelo ponto, ela começa a diminuir. Então, aqui, a gente tem três características de um ponto de inflexão. Quando a gente passar por esse ponto de inflexão, vai ocorrer uma mudança na concavidade dessa função, vai ocorrer uma mudança no sinal da segunda derivada e vai ocorrer uma mudança no comportamento da primeira derivada. Se ela estiver aumentando, vai começar a diminuir. Se ela estiver diminuindo, vai começar a aumentar. Sabendo dessas coisas, nós podemos observar este gráfico aqui e tentar encontrar as coordenadas "x" em que a gente possa ter um ponto de inflexão. E como nós temos um gráfico da derivada dessa função, nós podemos observar esse detalhe aqui, observar o comportamento dessa derivada. Se a gente encontrar um ponto em que a derivada estava antes crescendo e começa a decrescer, ou se estava decrescendo e começa a crescer, a gente pode dizer que aquele ponto é um ponto de inflexão. Por exemplo: aqui a gente pode perceber que a derivada está decrescendo, está ficando cada vez menor, menor e menor. E, ao passar por este ponto, em que a gente encontra, inclusive, uma reta tangente tendo uma inclinação igual a zero, essa derivada começa a aumentar. Então, nós podemos dizer que neste ponto x = -1, nessa coordenada x = -1, nós temos aqui um ponto de inflexão, já que houve uma mudança no comportamento da derivada. Antes ela estava diminuindo e agora ela começa a aumentar. Se a gente continuar vindo até aqui, quando chegar neste outro ponto, a gente vai ter a derivada crescendo e, ao passar por este ponto, ela começa a decrescer. Então, neste ponto aqui, x = 1, a gente também vai ter um ponto de inflexão, já que antes a derivada estava crescendo e depois começa a decrescer. Vindo aqui com a derivada decrescendo, ela vem decrescendo até chegar neste ponto, em que a gente também tem uma inclinação sendo igual a zero. Uma reta tangente tendo uma inclinação igual a zero. Lembrando que a reta tangente, neste gráfico da derivada, seria a segunda derivada. Ao passar por este ponto, a derivada começa a aumentar. A gente também teve uma mudança de comportamento aqui na derivada, Então, este ponto em que tem uma coordenada x = 3 também é um ponto de inflexão. "Encontre as coordenadas 'x' para todos os pontos de inflexão no gráfico". A gente acabou de encontrar. Esses pontos são: x = -1, x = 1 e x = 3.