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Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 13

Lição 3: Multiplicação e divisão de expressões racionais

Divisão de expressões racionais

Aprenda a calcular o quociente de duas expressões racionais.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios. O domínio de uma expressão racional inclui todos os números reais, exceto àqueles que tornam seu denominador igual a zero.

Podemos multiplicar expressões racionais, em grande parte, da mesma maneira que multiplicamos frações numéricas — fatorando, cancelando fatores comuns e multiplicando numerador por numerador e denominador por denominador.

Se você não estiver familiarizado com isso, você vai querer ver primeiro os seguintes artigos:

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai aprender a dividir expressões racionais.

Divisão de frações

Para dividir duas frações numéricas, multiplicamos o dividendo (a primeira fração) pela inversa do divisor (a segunda fração). Por exemplo:

\begin{aligned} \frac{2}{9} \div \frac{8}{3} \\ = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} & Multiplique pela inversa \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Fatore numeradores e denominadores \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Cancele fatores comuns \\ = \frac{1}{12} & Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador \end{aligned}

Também podemos usar esse método para dividir expressões racionais.

Exemplo 1: $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

\begin{aligned} \frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10} \\ = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{10}{9 x} & Multiplique pela inversa \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Fatore numeradores e denominadores \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Cancele fatores comuns \\ = \frac{5 x^{3}}{6} & Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador \end{aligned}

Como sempre, precisamos pensar sobre valores restritos. Ao dividir duas expressões racionais, o quociente é indefinido...

para qualquer valor que torne indefinida qualquer uma das expressões racionais originais,
e para qualquer valor que torne o divisor igual a zero.

Para resumir, a expressão que é o resultado de

\frac{A}{B} \div \frac{C}{D}

é indefinida quando

B = 0

C = 0

D = 0

Vamos examinar o dividendo e o divisor nesse problema para determinar quaisquer restrições de domínio.

O dividendo $\frac{3 x^{4}}{4}$ ‍ é definido para todos os valores de $x$ ‍.
O divisor $\frac{9 x}{10}$ ‍ é definido para todos os valores de $x$ ‍, e é igual a zero para $x = 0$ ‍.

Portanto, podemos concluir que o quociente resultante é definido para

x \neq 0

. Essa é nossa resposta final:

$\frac{5 x^{3}}{6}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Teste seu conhecimento

1) Divida e simplifique o resultado.

\frac{3}{10 x^{2}} \div \frac{6}{15 x^{5}} =

para

x \neq

\begin{aligned} \frac{3}{10 x^{2}} \div \frac{6}{15 x^{5}} \\ = \frac{3}{10 x^{2}} \cdot \frac{15 x^{5}}{6} & Multiplique pela inversa \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Fatore \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Cancele fatores comuns \\ = \frac{3 x^{3}}{4} & Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador \end{aligned}

Vamos examinar o dividendo e o divisor nesse problema para determinar quaisquer restrições de domínio.

O dividendo $\frac{3}{10 x^{2}}$ ‍ é indefinido para $x = 0$ ‍.
O divisor $\frac{6}{15 x^{5}}$ ‍ é indefinido para $x = 0$ ‍.

Portanto, podemos concluir que o quociente resultante é definido para

x \neq 0

. Essa é nossa resposta final:

$\frac{3 x^{3}}{4}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Exemplo 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍

Como sempre, multiplicamos o dividendo pela inversa do divisor. Em seguida, fatoramos, cancelamos fatores comuns e multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Por fim, consideramos os valores restritos.

\begin{aligned} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5} \\ = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Multiplique pela inversa \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Fatore \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 5)}{x + 3} & Cancele fatores comuns \\ = \frac{x - 5}{x + 5} & Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador \end{aligned}

Vamos examinar o dividendo e o divisor nesse problema para determinar quaisquer restrições de domínio. É mais fácil usar a forma fatorada dessas expressões.

O dividendo $\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}$ ‍ é definido para $x \neq - 5, 2$ ‍.
O divisor $\frac{x + 3}{x - 5}$ ‍ é definido para $x \neq 5$ ‍, e é igual a zero para $x = - 3$ ‍.

Portanto, podemos concluir que o quociente resultante é definido para

x \neq - 5, - 3, 2, 5

Em razão disso, devemos apontar que

x \neq 5, 2, - 3

. Não precisamos apontar que

x \neq - 5

, uma vez que isso é entendido a partir da expressão. Essa é nossa resposta final:

$\frac{x - 5}{x + 5}$ ‍ para $x \neq 5, 2, - 3$ ‍

Teste seu conhecimento

2) Divida e simplifique o resultado.

\frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} =

Quais são as restrições sobre o domínio da expressão resultante?

\begin{aligned} \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} \\ = \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \cdot \frac{2 x + 4}{x^{2} - 6 x - 7} & Multiplique pela inversa \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Fatore \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Cancele fatores comuns \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} & Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador \end{aligned}

Vamos examinar o dividendo e o divisor nesse problema para determinar quaisquer restrições de domínio.

O dividendo $\frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)}$ ‍ é definido para $x \neq 2, - 2$ ‍.
O divisor $\frac{(x - 7) (x + 1)}{2 (x + 2)}$ ‍ é definido para $x \neq - 2$ ‍, e é igual a zero para $x = 7, - 1$ ‍.

Portanto, podemos concluir que o quociente resultante é definido para

x \neq - 2, - 1, 2, 7

3) Divida e simplifique o resultado.

\frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} =

Quais são as restrições sobre o domínio da expressão resultante?

\begin{aligned} \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} \\ = \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 1} & Multiplique pela inversa \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Fatore \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Cancele fatores comuns \\ = \frac{x + 4}{x + 3} & Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador \end{aligned}

Vamos examinar o dividendo e o divisor nesse problema para determinar quaisquer restrições de domínio.

O dividendo $\frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)}$ ‍ é definido para $x \neq - 3, 3$ ‍.
O divisor $\frac{x - 1}{(x - 3) (x - 1)}$ ‍ é definido para $x \neq 3, 1$ ‍.

Portanto, podemos concluir que o quociente resultante é definido para

x \neq - 3, 1, 3

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Exemplo 1: 3x44÷9x10‍

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Exemplo 2: x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5‍

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Exemplo 1: $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

Exemplo 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍