Resolução de equações de segundo grau com fatoração (antigo)

RKA - Vamos resolver algumas equações quadráticas por fatoração. Digamos que eu tenha x² - 4x igual a 21. Agora, nosso impulso seria tentar faturar um x, e de alguma forma estabelecer x igual a 21, e isso não nos levará a boas soluções. Provavelmente, terminaremos fazendo algo que não é justificável. O que precisamos fazer é colocar a expressão quadrática toda de um lado da equação. Vamos fazer do lado esquerdo. Então, vamos subtrair 21 dos dois lados da equação. O lado esquerdo torna-se x² + 4x - 21 igual a 0. Do lado esquerdo será igual a 0. E do jeito que queremos resolver isso, isso é uma equação quadrática. Temos uma expressão quadrática estabelecida como igual a 0. A forma que queremos resolver é fatorá- la e dizer: "Legal cada um desses fatores poderiam ser iguais a 0". Então, como fatoramos isso? Vimos, no último vídeo, que precisamos descobrir dois números cujo produto seja igual a -21 e cuja soma seja igual a 4. Isso poderia ser "a" + "b", que teria que ser igual a 4. Como se o produto é negativo, eles terão que ter sinais diferentes. Vamos ver: um número que sobressalta para mim é o 7 e o 3. Se tenho -7 e +3, chegaria à soma -4. Então, vamos fazer com o 7 e o -3. Então, "a" e "b" são +7 e -3. Quando pego o produto chego a -21. Quando pego a soma chego a +4. Posso reescrever essa equação aqui. Poderia reinscrever a equação na sua forma faturada como: x + 7 vezes x - 3 igual a 0. Agora podemos resolver. Veja, tenho duas quantidades. Se o produto é igual a 0, isso significa que um ou os dois fatores precisam ser iguais a 0. Então, isso significa que x + 7 é igual a 0. Isto é um x, ou x - 3 é igual a 0. Eu poderia subtrair 7 dos dois lados da equação, chegaria a x é igual a -7. Aqui, posso acrescentar 3 aos dois lados da equação e chegarei a x é igual a 3. Por isso, os dois números são soluções para esta equação. Pode tentar, se x for 7, -7² é 49. -7 vezes 4 é igual a -28. Isso é realmente igual a 21. Deixarei você tentar com +3. Beleza, vamos fazer! 3² é 9, +4 vezes 3 é 12. 9 + 12 é 21. Vamos fazer mais um monte de exemplos. Digamos que eu tenha x² + 49 igual a 14x. De novo, quando vir alguma coisa assim, coloque todos os termos de um lado da equação e chegue a 0 no outro lado. É a melhor forma de resolver uma equação quadrática. Então, subtraímos 14x dos dois lados. Podemos escrever isso como x² - 14x + 49 igual a 0. Obviamente, 14x - 14x é igual a 0. A quantidade -14x é essa quantidade aqui. Agora, precisamos apenas pensar quais são os dois números que, quando pego o produto vou chegar a 49. E quando pego a soma vou chegar ao -14. Um, eles precisam ter o mesmo sinal, porque é um número positivo aqui. E os dois vão ser negativos, porque sua soma é negativa. Aqui tem uma coisa interessante: 49 é um quadrado perfeito, seus fatores são 1, 7 e 49. Então, talvez 7 funcione, ou ainda melhor, talvez -7 funcione. E funciona -7 vezes -7 é 49, e -7 + -7 é -14. Temos esse padrão, onde temos 2 vezes um número e, depois, temos o número ao quadrado. Esse é um quadrado perfeito. Isso é igual a x - 7 vezes x - 7 igual a 0. Não queremos esquecer isso, ou podemos escrever como (x - 7)² é igual a 0. Então, esse era um quadrado perfeito de um binômio. E (x - 7)² é igual a 0. Pegue a raiz quadrada dos dois lados. Teremos x - 7 é igual a 0. Isso é, podemos dizer x - 7 é igual a 0, ou x - 7 é igual a 0. Mas seria redundante. Vamos chegar a x - 7 é igual a 0. Acrescente 7 aos dois lados chegaremos a x é igual a 7. Apenas uma solução. Vamos fazer mais um, em rosa: digamos que eu tenha x² - 64 igual a 0. Agora, isso é interessante. Uma campainha pode tocar na sua cabeça sobre como resolver isso. Não há o termo x. Mas podemos pensar como se tivesse um termo x. Podemos reescrever como x² + 0x - 64. Nessa situação, podemos dizer: "Ok! Quais os dois números quando os multiplico obtenho 64 e quando os adiciono obtenho 0?" Quando pego o produto vou chegar a um número negativo. Certo, isso é "a" vezes "b", é um número negativo. Isso deve significar que eles têm sinais opostos. Significa que têm sinais opostos e quando os acrescento chego a 0. Isso deve significar que "a" + "b", ou melhor, "a" + "-b" é igual a 0. Ou que "a" é igual a "b", que estamos trabalhando com o mesmo número. Na verdade, estamos trabalhando com o mesmo número, opostos um do outro. O que pode ser? Bom, se fizemos com o mesmo número e forem negativos um do outro, 64 é exatamente 8². Mas é - 64. Talvez estejamos trabalhando com -8 e com o +8. Se acrescentarmos esses dois juntos temos de fato um 0. Então, será x + 8 vezes x - 8. Não temos que sempre passar por esse processo que eu fiz aqui. Já podemos nos lembrar que se tenho "a" + "b" vezes "a" - "b", isso é igual a a² - b². Se a gente vir algo assim a² - b², podemos dizer imediatamente: isso será "a" + "b", "a" é x e "b" é 8 vezes "a" - "b". Vamos fazer mais alguns, apenas problemas gerais. Eu não vou contar quais os tipos que eles terão. Deixa eu mudar de cor, porque está ficando monótono. Digamos que temos x² - 24x + 144 igual a 0. Bom, 144 é, sem dúvida, 12² e -24 que é, sem dúvida, 2 vezes -12, ou simplesmente -12². Então, isso é -12 vezes -12. Isso é -12 + -12. Então, essa expressão pode ser reescrita como x - 12 vezes x - 12 ou (x - 12)². Vamos ter que ajustar isto é igual a 0. Isso será 0 quando x -12 igual a 0. Podemos dizer que esses serão iguais a 0, mas são a mesma coisa. Acrescente 12 dos dois lados da equação e chegaremos a x igual a 12. Acabei de perceber, esse problema aqui em cima, eu fatorei, mas não resolvi a equação. Então, isso precisa ser igual a 0. Vamos voltar para essa equação aqui. E a única forma de resolver essa equação, e ser 0 é x - 8 igual a 0, ou x + 8 igual a 0. Acrescentamos 8 aos dois lados da equação. Chegamos a x, que pode ser igual a 8. Subtraímos 8 dos dois lados da equação, teremos x, que pode ser também igual a -8. Vamos fazer mais um, só para realmente, entrar na sua cabeça. Vamos lá: digamos que eu tenha 4x² - 25 igual a 0. Já podemos ver o padrão da diferença de quadrados. Esse é a², esse é b². Temos um padrão de a² - b². Nesse caso, "a" seria igual a 2x. Certo? Isso é 2x² e "b" seria igual a 5. Então, se temos a² - b², isso será igual a (a + b) vezes (a - b). Nessa situação, significa que 4x² - 25 será (2x + 5) vezes (2x - 5). E, claro, a equação será igual a 0. Isso será apenas igual a 0, se 2x + 5 for igual a 0, ou 2x - 5 for igual a 0. E podemos resolver cada um deles. Subtraia 5 dos dois lados, teremos 2x igual a -5, divida os dois lados por 2. Chegaremos a uma solução que é x igual a - 5/2. Aqui acrescente 5 aos dois lados. Teremos 2x igual a 5. Divida os dois lados por 2, teremos x que pode ser também igual a +5/2. Então, os dois satisfazem àquela equação ali.