Polinômios pares e ímpares

RKA - Nesse vídeo nós vamos discutir funções pares, funções ímpares, e funções que não são par nem ímpar. Temos 3 funções: f(x) igual a -7x à 6ª mais 3x à 4ª menos 9x à 2ª mais 8. O que eu posso colocar como x elevado vezes x elevado a 0. Por que eu evidenciei o quadrado aqui? Porque, nesse caso aqui, nós temos todos os expoentes pares. E 0, por definição, é número par. Nessa outra função, nós temos: -10x elevado à 11 mais x elevado a 9 menos x elevado à 3ª mais 7x, que é a mesma coisa de x elevado à 1ª. E temos uma outra função que é: 3 vezes x elevado à 4ª menos 10 vezes x elevado à 3ª mais x elevado à 2ª menos x. O que significa uma função par? Significa que f(-x) é igual a f(x). O que significa isso? Vamos ver no gráfico. Se pegamos uma função que seja par, nós temos que f(x)... Nós temos x e nós temos f(x), que é nosso y. Agora, vamos pegar o oposto de x. Pegamos o oposto de x, e leva ao mesmo y. Significa que, tanto f(x) como f(-x) são idênticos. Isso é uma função par. Voltando para a nossa descrição, nós temos que essa é uma função par. O que significa uma função ser ímpar? Uma função é ímpar quando você tem f(-x) igual a -f(x). O que significa isso? Quando você pega o oposto de x, você vai ter o oposto da função. Vamos ver no gráfico, para uma função que seja ímpar, para ficar mais claro. Se você tem um determinado x que te leva a um f(x), ou seja, a um determinado y... Se você pegar o oposto desse x, ou seja, o -x, vai te levar ao -y. Ou seja, o oposto de x leva o oposto de f(x). Voltando para a nossa descrição, nós temos uma função que não é par e nem ímpar, não obedece a nenhuma dessas características. Vamos verificar algumas características importantes das funções pares e ímpares. A função par é simétrica ao eixo y. O que significa isso? Como f(x) é igual a f(-x), nós podemos rotacionar entorno do eixo y, e vamos ter a mesma função. Ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Veja, nós rotacionamos, e nosso f(x) passou a ser o f(-x). Os dois têm o mesmo valor, portanto, ela é simétrica ao eixo y. Vamos ver a função ímpar. Nós temos o oposto de x quando invertemos no eixo y. Nós temos agora o oposto de f(x) quando invertemos no eixo x. E você verifica que x leva a f(x), a um determinado y, e -x leva a -f(x), ou seja, leva a -y. O que significa que o oposto de x leva ao oposto de y. Isso é o que caracteriza uma função ímpar. E você poderia estar se perguntando se tem alguma coisa a ver com os expoentes de uma função polinomial. Tem tudo a ver com uma função polinomial. Mas existem várias outras funções, e fica como exercício para você fazer, que são pares ou ímpares. Ou seja, você pode provar se cosseno de -x é igual a cosseno de x. Se for... Se você provar que cosseno de -x é igual a cosseno de x, significa que cosseno de x é uma função par. Se você provar que seno de -x é igual a menos o seno de x, significa que seno de x é uma função que nós chamamos de ímpar. Vamos verificar nossas funções f(x), h(x) e g(x), se elas são pares ou ímpares. Ou seja, vamos pegar, no nosso f(x), o f(-x). Então, temos: f(-x) é -7 vezes -x, porque agora x virou - x, elevado à 6ª mais 3 vezes -x elevado à 4ª menos 9(-x) elevado à 2ª mais 8 vezes x elevado a 0, que é 1. Vamos ver o que acontece com o sinal em uma função aparentemente par, já que tem todos os expoentes e é uma função polinomial. Realmente, se nós fizermos... No lugar de -x colocarmos -11, ou seja, se colocarmos -1 vezes x, tudo elevado à 6ª... E repetirmos todo o resto, ou seja, no lugar de -x colocamos -1 vezes x elevado à 4ª menos 9 vezes -1 vezes x elevado à 2ª mais 8. Verificamos que, o sinal, quando está elevado à potência par, vai mudar. Ou seja, quando o expoente é par, nós podemos escrever -1 vezes x como absolutamente x, pois quando -1 for elevado à 6ª vai virar mais 1. Então, vamos reescrever f(-x). Nós temos -7 vezes, agora, x à 6ª mais, 3 vezes -1 à 4ª é mais 1, vezes x... Vai ficar x à 4ª. 3 vezes x à 4ª menos 9... Menos 1 ao quadrado, vai dar 1. Vezes x ao quadrado... E vai ficar mais 8. Ou seja, nós temos essa nossa função agora. Essa função aqui é f(-x). E verifique que essa função f(-x) é exatamente igual à função de f(x). Portanto, esse f(x) é uma função par. Vamos ver agora a função h(x). Para h(-x), nós vamos ter -10 vezes -x elevado a 11 mais -x elevado a 9 menos -x elevado à 3ª mais 7 vezes -x. Quando nós temos uma base elevada a um expoente ímpar, o sinal vai se manter. Ou seja, é a mesma coisa de eu colocar -1 vezes x. Quando -1 for elevado a 11, vai ficar -1. Portanto, esse sinal se preserva. -x, tudo elevado a 11, é igual a -x elevado 11. Portanto... menos com menos, dá mais. E vamos ter que h(-x) é igual a mais 10x elevado a 11. Esse aqui, o sinal vai ficar negativo. Portanto, -x elevado a 9. Esse aqui, o sinal vai ficar negativo. Menos com menos vai dar mais. Portanto, mais x à 3ª. E esse aqui vai ficar... Menos com mais dá menos, -7x. E podemos ver que essa função, h(-x), é exatamente o oposto dessa função, h(x). Ou seja, onde nós tínhamos -10 elevado a 11, temos agora mais 10 elevado a 11. Onde nós tínhamos mais x elevado a 9, temos agora -x elevado a 9. Quando tínhamos -x elevado à 3ª, temos agora x elevado à 3ª. E quando tínhamos mais 7x, agora temos -7x. Ou seja, essa função foi toda multiplicada por -1. Então, isso é a mesma coisa de -h(x). Ou seja, quando você tem uma função onde f(-x) é igual a -f(x), significa que você tem uma função que nós chamamos de ímpar. Portanto, essa função é ímpar. E... o que evidenciamos em cima dos expoentes é que aqui temos todos os expoentes pares. O que, no polinômio, funciona para dizer que uma função é par. E aqui temos todos os expoentes ímpares, o que funciona também, como é uma função polinomial, para dizer que uma função é ímpar. Nesse próximo caso, nessa próxima função, vamos verificar se ela é par ou ímpar. Ela está com os expoentes... Já podemos suspeitar que ela não vai ser nem par, nem ímpar, pois ela está com os expoentes pares e ímpares ao mesmo tempo. Ou seja, aqui é a mesma coisa que 1. Ou seja... Então, vamos ver. g(-x) é igual a 3 elevado a -x à 4ª menos 10 elevado a -x à 3ª mais -x elevado à 2ª menos -x. Portanto, agora temos: a função g(-x) é igual a... Essa daqui vai ficar positiva. Portanto, 3 vezes x elevado à 4ª. Esse -x elevado à 3ª vai ficar -x elevado à 3ª. Menos com menos dá mais. Ou seja, vai ficar mais 10x elevado à 3ª. Temos -x elevado à 2ª, vai ficar positivo. Então, positivo com positivo... Nós temos mais x à 2ª. Menos com menos vai dar mais, nós temos mais x. Portanto, vemos que, nesse caso aqui, ele trocou o sinal. Nesse caso aqui, não trocou. Nesse caso aqui, ele trocou o sinal. E, neste caso aqui, ele não trocou. Ou seja, g(-x) nem é g(x)... Podemos verificar que ela não é g(x). Portanto, podemos eliminar g(x), ela não é g(x). Nem g(-x) é -g(x). Ou seja, se você inverter todos os sinais, você vai ter -3x à 4ª mais 10x à 3ª menos x à 2ª mais x. E isso aqui não é a mesma função, ela não é idêntica. Portanto, podemos eliminar isso aqui. Portanto, ela não é nem uma função par, nem é uma função ímpar.