Multiplicação de binômios com radicais (antigo)

RKA - Pedem para a gente multiplicar e simplificar. Temos x² menos raiz quadrada de 6, que multiplica x² mais raiz quadrada de 2. Temos dois binômios, duas expressões com dois termos que queremos multiplicar e há muitas formas de fazer isso. Vou mostrar a forma mais intuitiva e a que é ensinada nas escolas, que pode ser um pouco mais rápida, mas exige certa memorização. Vou mostrar o modo intuitivo primeiro. Se tem qualquer coisa, digamos que eu tenha “a” vezes “x” mais “y”. A gente sabe, pela propriedade distributiva, que isso é o mesmo que “ax” mais “ay”. Logo, podemos fazer a mesma coisa aqui. Se visualizar “a” como x² menos raiz quadrada de 6, toda essa expressão aqui, e “x” mais “y” como x² mais raiz quadrada de 2, você pode distribuir. Podemos distribuir tudo isso em... (Deixa eu fazer deste jeito). Distribuir todo esse termo nesse termo e nesse termo. Vamos fazer isso. Obtemos x² menos raiz quadrada de 6, vezes esse termo. Vou fazer em amarelo. Vezes x² e temos mais isso... De novo, estamos distribuindo, e como com esse “a” às vezes não parece tão intuitivo, já que a expressão é grande, mas você pode tratar como uma variável bem aqui. Estamos distribuindo sobre essa expressão aqui. Temos x² menos raiz quadrada de 6, vezes raiz quadrada de 2, vezes raiz quadrada de 2. E agora podemos usar a propriedade distributiva de novo. Vamos distribuir cada um desses termos. Vamos distribuir o x² em cada um desses termos e vamos distribuir a raiz de dois em cada um desses termos. É exatamente a mesma coisa que fizemos aqui, só estamos escrevendo assim. “x” mais “y” vezes “a” ainda será “ax” mais “ay”. Veja o padrão. Como isso é igual a isso, estamos apenas alterando a ordem da multiplicação. Você pode ver como se estivéssemos distribuindo a partir da direita. Se fizer isso, você terá x² vezes x², que é x⁴. Isso vezes isso. E menos x² vezes a raiz quadrada de 6. Menos x² vezes a raiz quadrada de 6. Aqui tem raiz quadrada de 2 vezes x². Mais x² vezes raiz quadrada de 2. Tem a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 6. E temos um sinal negativo aqui. Agora, se extrair a raiz quadrada de 2... (deixa eu fazer aqui ao lado). Raiz de 2 vezes raiz quadrada de 6. Sabemos, pela simplificação de radicais, que isso é igual a raiz quadrada de 2 vezes 6, ou raiz quadrada de 12. Raiz quadrada de 2 vezes 6, há um sinal negativo aqui, torna-se menos raiz quadrada de 12. Vejamos se podemos simplificar isso. Vejamos: você tem um x⁴, e aqui tem um, dependendo de como quiser analisar, poderia dizer que temos 2 termos de segundo grau. Temos algo vezes x², e temos outra coisa vezes x². Se quiser, pode simplificar esses dois termos aqui. Temos a raiz quadrada de 2x², e tenho a raiz quadrada de 6. Vou subtrair dessa raiz quadrada de 6, x². Pode ver isso como raiz quadrada de 2 menos raiz quadrada de 6. A raiz quadrada principal de 2, menos a raiz quadrada principal de 6, x². E se quiser, a raiz quadrada de 12, você pode simplificar. 12 é igual a 3 vezes 4. Raiz quadrada de 12 é igual a raiz quadrada de 3, vezes a raiz quadrada de 4. E a raiz quadrada de 4, ou, melhor dizendo, a raiz quadrada positiva de 4, é 2. Raiz quadrada de 12 é igual a 2 raiz de 3. Ao invés de escrever menos raiz quadrada de 12, podemos escrever menos 2 raiz quadrada de 3. E aqui temos x⁴. Tem um x⁴ mais isso. Veja, se você distribuir isso, se distribuir esse x², terá esse termo. Menos x², raiz quadrada de 6. E, se distribuir esse, você obtém aquele termo. Logo, pode discutir qual desses está mais simplificado. Mencionei que, dessa forma, fiz apenas a propriedade distributiva duas vezes. Nada demais. Mas em algumas aulas, verá respostas das duas formas. Acho que vimos em vídeos anteriores. Você deveria compreender que isso vem apenas do senso comum da propriedade distributiva, mas isso é apenas uma forma de ter certeza de que está multiplicando tudo vezes tudo. Quando estiver multiplicando 2 binômios dessa forma, de outra forma poderíamos primeiro multiplicar os primeiros termos. Então x² vezes x², é x⁴. Multiplique o que está do lado de fora. (Em verde). Multiplique o que está do lado de fora. Os termos de fora são: x² e a raiz quadrada de 2. X² vezes raiz quadrada de 2, (é positivo), mais raiz de 2 vezes x². Multiplique os termos internos. Multiplique os termos internos. Menos raiz quadrada de 6, vezes x². Daí, menos raiz quadrada de 6, vezes x². E multiplica os últimos termos. Menos raiz quadrada de 6, vezes raiz quadrada de 2. Isto é... (já sabemos essa), é menos raiz quadrada de 12. Que você pode então simplificar para aquela expressão ali. Tudo bem usar isto. E é bom mesmo que você use isto. Ou seja, saber de onde vem. Vem de usar a propriedade distributiva duas vezes.