Expansão de binômios sem o Triângulo de Pascal

RKA - Então, agora, se vocês assistiram a todos os vídeos de expansão binomial até aqui, provavelmente, vocês estão ficando profissionais nisso já, e eu acho que chegou a hora de apresentar para vocês uma maneira um pouco mais fácil, uma maneira um pouco mais mental de resolver uma expansão binomial que não envolve aquelas fórmulas de expansão nem o Triângulo de Pascal. Então, a gente sabe aqui que o expoente é 7 e que essa expansão vai ter oito termos. Por exemplo, se fosse aqui grau 3, a expansão teria quatro termos e assim vai. Então, já vou marcar aqui os oito termos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Eu posso começar marcando o "x" e o "y" que tem aqui também, então eu já vou botar aqui "x", e já vou botar o expoente dele aqui, que vai ser 7 (vai ser o máximo), e, a cada termo, a gente sabe que o expoente vai diminuir 1. Então, aqui vai ser "x⁶", "x⁵", "x⁴", "x³", "x²", "x¹", e aqui vai ter "xº", mas eu vou deixar isso como 1 (então nem vou botar ali). E agora podemos marcar o "y". Aqui vai ser "yº", então vou deixar aqui como 1, não vou marcar; aqui vai ser "y¹", "y²", "y³", "y⁴", "y⁵", "y⁶" e "y⁷". Percebam que a soma dos expoentes sempre (eu fico confundido coeficiente com expoente), mas a soma dos expoentes sempre vai ser 7; então, "5 + 2" é igual a 7, "4 + 3" é igual a 7", e assim vai. Então, agora vai ser o seguinte, a mágica disso aqui vai ser o seguinte: a gente já sabe que o coeficiente aqui é 1 (é o que está multiplicando esse "x⁷" e também o que está multiplicando esse "y⁷")... então, a mágica é o seguinte: para descobrir o coeficiente disso daqui, eu vou pegar o expoente do "x" do termo anterior, 7, vou multiplicar pelo coeficiente, que vai ser 1, e vou dividir isso pelo índice do número anterior (que é esse número que está aqui em cima), que vai ser 1, e isso daqui vai dar resultado 7, vai ser o coeficiente disso daqui. E, agora, já vou até botar "+" aqui em todos para poupar tempo depois (ou melhor, aqui vai faltar espaço ainda), já vou botar "+" aqui e, agora, vamos descobrir o coeficiente desse termo daqui. Então, eu pego o expoente do termo anterior... (eu vou tentar fazer do maior número de cores possíveis)... então, 6 vezes o coeficiente, que aqui vai ser 7, e isso daqui dividido pelo índice do número que é 2 (aqui é o 2), e isso daqui vai dar 3 vezes 7, que é 21. Então... (ou melhor, deixa eu fazer de outra cor, eu fico confundindo as cores aqui)... 21... (quanto mais cores, melhor para vocês conseguirem distinguir tudo)... então, 21, a gente descobriu o coeficiente desse termo daqui. E, agora, vamos para o próximo. Aqui a gente pega o expoente 5, multiplica pelo coeficiente 21 e divide isso pelo índice do número anterior, que vai ser 3. Eu posso cortar esse 3 com esse 21: aqui vai dar 7, aqui vai dar 1. E 5 vezes 7 é igual a 35 (então, já vou botar 35 aqui). E, agora, a gente pode continuar calculando para esses outros termos, ou a gente pode se lembrar de que existe uma certa simetria (eu vou marcar aqui a simetria que eu acho que vai ficar melhor para vocês enxergarem). Aqui, por exemplo, a simetria desse termo com esse termo; a simetria desse termo com esse termo (então, eu sei que aqui vai ser 7); a simetria desse termo com esse termo (então, eu sei que aqui vai ser 21), e, aqui, se for continuar assim, vai ser 35. Então, a gente acabou, quase que sem trabalho nenhum (de usar aquela fórmula ou o Triângulo de Pascal), a gente acabou de descobrir qual vai ser a progressão binomial, a expansão binomial, desse termo daqui.