Introdução às funções inversas

Funções inversas, no sentido mais geral, são funções que "revertem" uma a outra.

Por exemplo, aqui vemos que a função $f$‍ leva de $1$‍ para $x$‍, de $2$‍ para $z$‍, e de $3$‍ para $y$‍.

A inversa de $f$‍, denotada $f^{-1}$‍ (e lida como "inversa de $f$‍"), vai inverter esse diagrama. A função $f^{-1}$‍ leva de $x$‍ para $1$‍, de $y$‍ para $3$‍, e de $z$‍ para $2$‍.

De forma geral, se uma função $f$‍ leva de $a$‍ para $b$‍, então a função inversa, $f^{-1}$‍, leva de $b$‍ para $a$‍.

A partir disso, temos a definição formal de funções inversas:

Vamos nos aprofundar nessa definição trabalhando em alguns exemplos.

Suponha que a função $h$‍ seja definida pelo diagrama de flechas acima. Quanto é $h^{-1}(9)$‍?

Temos informações sobre a função $h$‍ e nos é perguntado sobre a função $h^{-1}$‍. Como as funções inversas revertem umas as outras, precisamos reverter nosso pensamento.

Especificamente, para encontra $h^{-1}(9)$‍, podemos encontrar a entrada de $h$‍ cuja saída é $9$‍. Isso porque, se $h^{-1}(9)=x$‍, então, pela definição de inversas, $h(x)=9$‍.

A partir do diagrama de flechas, vemos que $h(6)=9$‍, e assim $h^{-1}(9)=6$‍.

Esse é o gráfico da função $g$‍. Vamos encontrar $g^{-1}(-7)$‍.

Para encontrar $g^{-1}(-7)$‍, podemos encontrar a entrada de $g$‍ que corresponde a uma saída de $-7$‍. Isso porque, se $g^{-1}(-7)=x$‍, então, pela definição das inversas, $g(x)=-7$‍.

A partir do gráfico, vemos que $g(-3)=-7$‍.

Portanto, $g^{-1}(-7)=-3$‍.

Os exemplos acima nos mostraram a conexão algébrica entre uma função e sua inversa, mas também há uma conexão gráfica!

Considere a função $f$‍, dada no gráfico e em uma tabela de valores.

Podemos inverter as entradas e saídas da função $f$‍ para encontrar as entradas e saídas da função $f^{-1}$‍. Assim, se $(a,b)$‍ está no gráfico de $y=f(x)$‍, então $(b,a)$‍ estará no gráfico de $y=f^{-1}(x)$‍.

Isso nos dá esse gráfico e essa tabela de valores de $f^{-1}$‍.

Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de $y=f(x)$‍ e o gráfico de $y=f^{-1}(x)$‍ são reflexões sobre a reta $y=x$‍.

Isso é verdadeiro em geral. O gráfico de uma função e sua inversa são reflexões sobre a reta $y=x$‍.

Pode parecer arbitrário estarmos interessados em funções inversas, mas elas são usadas o tempo todo!

Considere que a equação $C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$‍ pode ser usada para converter a temperatura em graus Fahrenheit, $F$‍, para uma temperatura em graus Celsius, $C$‍.

Mas suponha que queiramos uma equação que faz o inverso – que converta uma temperatura em graus Celsius para uma temperatura em graus Fahrenheit. Isso descreve a função $F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$‍, ou a função inversa.

Em um nível mais básico, resolvemos muitas equações matemáticas "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Dessa forma, estamos usando a ideia de funções inversas para resolver equações.