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Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 7

Lição 20: Cálculo de funções inversas (Álgebra nível 2)

Como encontrar funções inversas

Aprenda a encontrar a fórmula da função inversa de uma função dada. Por exemplo, encontre a inversa de f(x)=3x+2.

Funções inversas, no sentido geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se

f

leva

a

para

b

, então a inversa,

f^{- 1}

, deve levar

b

para

a

Ou, em outras palavras,

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

Neste artigo, vamos aprender a encontrar a fórmula da função inversa quando temos a fórmula da função original.

Antes de começarmos...

Nesta lição, vamos encontrar a função inversa de

f (x) = 3 x + 2

Antes de fazer isso, vamos pensar sobre como poderíamos calcular

f^{- 1} (8)

Para encontrar

f^{- 1} (8)

, precisamos encontrar a entrada de

f

que corresponde a uma saída de

8

. Isso porque, se

f^{- 1} (8) = x

, pela definição das inversas,

f (x) = 8

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & Considere f(x)=8 \\ 6 & = 3 x & Subtraia 2 dos dois lados \\ 2 & = x & Divida os dois lados por 3 \end{aligned}

Então,

f (2) = 8

o que significa que

f^{- 1} (8) = 2

Como encontrar funções inversas

Podemos generalizar o que fizemos acima para encontrar

f^{- 1} (y)

para qualquer

y

Para encontrar

f^{- 1} (y)

, podemos encontrar a entrada de

f

que corresponde a uma saída de

y

. Isso porque, se

f^{- 1} (y) = x

, então pela definição das inversas,

f (x) = y

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Considere f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & Subtraia 2 dos dois lados \\ \frac{y - 2}{3} & = x & Divida os dois lados por 3 \end{aligned}

Então,

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

Como a escolha da variável é arbitrária, podemos escrever isso como

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Como funções inversas revertem as entradas e as saídas, outra forma de encontrar

f^{- 1}

é trocar

x

y

de lugar inicialmente, e então calcular

y

para escrever a inversa em forma de função.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Substitua f(x) por y \\ x & = 3 y + 2 & Troque x e y \\ x - 2 & = 3 y & Subtraia 2 dos dois lados \\ \frac{x - 2}{3} & = y & Divida os dois lados por 3 \end{aligned}

Então,

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Observe as semelhanças entre os dois métodos. Em cada caso, a equação é resolvida levando em conta a variável que não está isolada. A principal diferença envolve o momento quando as variáveis são invertidas. (O primeiro método faz isso no final, enquanto o segundo método faz isso no início).

Teste seu conhecimento

1) Função linear

Encontre o inverso de $g (x) = 2 x - 5$ ‍.

g^{- 1} (x) =

2) Função cúbica

Encontre o inverso de $h (x) = x^{3} + 2$ ‍.

h^{- 1} (x) =

3) Função de raiz cúbica

Encontre o inverso de $f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍.

f^{- 1} (x) =

4) Funções racionais

Encontre o inverso de $g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍.

g^{- 1} (x) =

Para começar, substitua

g (x)

por

y

. Então, calcule

x

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & Substitua g(x) por y \\ y (x - 2) & = x - 3 & Multiplique os dois lados por x-2 \\ y x - 2 y & = x - 3 & Distribua \\ y x - x & = 2 y - 3 & Agrupe os termos com x em um lado \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & Isole x \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Divida os dois lados por y-1 \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Substitua x por g^{- 1} (y) \end{aligned}

Como a escolha da variável é arbitrária, agora podemos trocar

y

x

de lugar para escrever a inversa em termos de

x

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

5) Desafio

Relacione cada função ao tipo de sua inversa.

1

Você pode completar esse problema sem encontrar inversas de fato. Pense em quais operações poderiam "desfazer" a função. Ou, use o que foi feito acima como ajuda.

Função	Tipo de inversa
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	Linear
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	Raiz cúbica
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	Racional
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	Quadrática

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