Contradomínio de funções de segundo grau

Resolvemos a equação $f(x)=9$‍:

Como o quadrado de um número real é sempre positivo, esta equação não tem solução real. Sendo assim, $y=9$‍ não é uma saída possível de $f(x)=-2(x+3{)}^2+7$‍.

Em outras palavras, não existe entrada possível $x$‍ para a qual a saída de $f$‍ seja $y=9$‍.

Aqui é possível ver o gráfico da função e a reta $y=9$‍. Como a parábola não passa sobre seu vértice, ela nunca cruzará essa reta. Isso significa que não existe um par de valores de entrada e saída em que a saída é $y=9$‍.

Veja o gráfico da função e a reta $y=-5$‍. Como a parábola e a reta se cruzam, sabemos que existe uma entrada $x_1$‍ para a qual $f(x_1)=-5$‍. Nós nem precisamos saber quanto é $x_1$‍, basta sabermos que ele existe.

Na verdade, como elas se cruzam duas vezes, sabemos que há duas entradas. Mas apenas uma delas é suficiente para concluir que $y=-5$‍ é uma saída possível de $f$‍.

Quanto a $y=-50$‍, não podemos desenhar a reta correspondente, uma vez que seu escopo não é grande o suficiente. No entanto, observe que a parábola é aberta para baixo, o que quer dizer que ela continua indo para baixo, à medida que $x$‍ se distancia de seu eixo de simetria em $x=-3$‍.

Portanto, podemos ter certeza de que a parábola cruza $y=-50$‍ em algum ponto. A partir disso, é possível concluir que $y=-50$‍ é uma possível saída de $f$‍ também.

$\{y\in \mathbb{R}|y\le 7\}$‍ pode ser lido em voz alta como o conjunto de $\text{valores de y que são números reais}$‍, de modo que $\text{cada }\text{valor de y é menor ou igual a }7$‍.

Vemos no gráfico que $-5$‍ é a menor saída obtida por $g$‍.

Como a parábola abre para cima, toda saída maior ou igual a $-5$‍ é possível.

O vértice do gráfico de $h(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-3{)}^2+2$‍ está em $y=2$‍.

Como ${\displaystyle \frac{1}{2}}>0$‍, o gráfico da parábola abre para $\text{cima}$‍. Então, o valor $y=2$‍ é a menor saída da função.