Introdução a expoentes fracionários

RKA - Já sabemos bastante sobre expoentes. Por exemplo, que se pegar o número 4 e elevar à terceira potência, vai ser equivalente a pegar três vezes o número 4 e multiplicar entre si. Ou, também, dá para ver como começar com 1 e multiplicar o 1 por 4, ou multiplicar por 4, três vezes. Mas, de qualquer forma, vai resultar em: 4 vezes 4 é 16, vezes 4 é 64. A gente também sabe um pouco sobre expoentes negativos. Por exemplo, se eu pegar esse 4 elevado a -3 e esse negativo nos diz que para pegar o inverso de 4, 1/4 elevado ao cubo. Já sabemos que 4 à terceira é 64. Então, diz que será 1/64. Agora, vamos pensar sobre expoentes fracionários. Vamos pensar sobre o que é 4 elevado a 1/2. Pause o vídeo e pelo menos tente adivinhar o que acha que é isso... Pela convenção matemática, a definição matemática que a maioria das pessoas usa, é que quatro elevado a 1/2 é exatamente a mesma coisa que a raiz quadrada de 4. E vamos falar no futuro sobre o que é, e porque está definido dessa forma. É que tem todo tipo de propriedades legais e elegantes quando começa a manipular os expoentes de verdade, mas o que a raiz quadrada de quatro, especialmente a raiz principal, significa? Bom, significa qual é o número que se eu multiplicar por si mesmo ou se eu tiver dois números daqueles e multiplicar vezes cada um no mesmo número, vou obter 4? O que vezes si mesmo é igual a 4? É igual a 2. Só para ter um senso do porque começa a funcionar. Lembre-se: a gente poderia ter escrito que 4 é igual a 2 ao quadrado. Você está começando a ver alguma coisa interessante... 4 elevado a 1/2 é igual a 2. 2 ao quadrado é igual a 4. Vamos fazer mais alguns exemplos desses só para garantir que entendeu o que está acontecendo. Aconselho a pausar o quanto for necessário, tentar descobrir sozinho. Baseado no que acabei de dizer, quanto você acha que vai ser 9 elevado a 1/2? É a raiz quadrada de 9. A raiz quadrada de 9 vai ser igual a 3. E assim a gente poderia ter dito que 3 ao quadrado é... vou escrever assim... que 9 é igual a 3 ao quadrado. As duas declarações são verdadeiras. Vamos fazer mais um. Quanto vai ser 25 para 1/2? Vai ser 5. 5 vezes 5 é 25. Ou dá para falar que 25 é igual a 5 ao quadrado. Agora, vamos pensar no que acontece quando você eleva alguma coisa à terceira potência. Vamos imaginar elevando 8 à potência de 1/3. A definição é que elevar alguma coisa à potência de 1/3, é a mesma coisa que pegar a raiz cúbica desse número. E a raiz cúbica do cubo é... Bom, qual o número que se eu tiver 3 daquele número e multiplicar vou obter 8? Alguma coisa vezes alguma coisa, vezes alguma coisa é 8. A gente já sabe que 8 é igual a 2 elevado à terceira potência. A raiz cúbica de 8, ou 8 elevado a 1/3 será igual a 2. Isso nos diz: "Dê um número que se eu disser número vezes aquele número, vezes aquele número, irei obter 8. Aquele número é 2, porque 2 elevado ao cubo é 8. Faça mais alguns exemplos. O que é 64 elevado a 1/3? Sabemos que 4 vezes 4 vezes 4 é 64, então será 4. E já escrevemos que 64 é a mesma coisa que 4 elevado à terceira. Imagino que esteja começando a entender um pouco melhor o processo de uma matriz, pois tem padrão. E dá para estender essa ideia aos expoentes arbitrários racionais. O que acontece se eu elevar, digamos que eu tenha... deixa eu pensar em um bom número... Digamos que eu tenha o número 32 e elevo a 1/5. Então, isso me diz: "Me dê um número que se eu multiplicar aquele número, ou se eu multiplicar repetidas vezes aquele número 5, eu obteria 32. E 32 é a mesma coisa que 2 vezes 2, vezes 2, vezes 2, vezes 2. Então, 2 é aquele número que se multiplicar 5 vezes vou obter 32. Isso aqui é 2, ou, outra forma de falar, é que 32 é igual a 2 elevado à quinta potência.